Binomiális együttható – Wikipédia
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
![]() | Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A matematikában az binomiális együttható a binomiális tételben előforduló együttható, ami a matematika különböző ágaiban bír jelentőséggel. Az kifejezést a magyarban így olvassák: „n alatt a k”.
Algebrai megközítésben az kifejtésében az együtthatója. A kombinatorikában egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a száma, ami azt mutatja meg, hányféleképpen választható ki k elem n különböző elem közül.
Az jelölést Andreas von Ettingshausen vezette be 1826-ban,[1] habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd Pascal-háromszög). Alternatív jelölések a , , , melyek mindegyikében a C betű a kombinációkra utal.
Definíció
[szerkesztés]Az n és k természetes számoknál, az binomiális együtthatót az egytagú együtthatójaként lehet leírni az kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha k ≤ n a binomiális tételben.
- ,
ami megmagyarázza a „binomiális együttható” nevet.
A binomiális együttható jelöli a kombinatorikában azt a számot, ahányféleképpen ki tudunk választani n különböző elemből k darabot, feltéve, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít és minden elem legfeljebb egyszer választható (n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma); ezzel ekvivalens, hogy egy n-elemű halmazban a k-elemű részhalmazok (vagy k-kombinációk) számát is a binomiális együttható adja meg.
Rekurzív képlet
[szerkesztés]Van egy rekurzív képlete a binomiális együtthatóknak.
ezekkel a kezdőértékekkel:
A képlet vagy megszámolja a kitevőket Xk-ig (1 + X)n−1(1 + X)-ben, vagy a {1, 2, ..., n} k'-kombinációit számolja meg, külön-külön azt, ami tartalmazza az n-et és ami nem. Ebből adódik, hogy amikor k > n, és minden n-re, hogy az ilyen eseteknél a rekurzió megállhasson. Ez a rekurzív képlet lehetővé teszi a Pascal-háromszög szerkesztését.
Szorzási képlet
[szerkesztés]Egy, egyedi binomiális együtthatók kiszámítására alkalmazott, hatékonyabb módot ez a képlet jeleníti meg:
Ezt a képletet legkönnyebb megérteni a binomiális együttható kombinatorikai értelmezéséhez. A számláló megadja a k eltérő tárgyak számsorának n tárgyak halmazából való kiválasztásához szükséges eljárások számát, megőrizve a kiválasztás sorrendjét. A nevező megszámolja az eltérő számsorok számát, amik ugyanazt a k-kombinációt határozzák meg, amikor nem vesszük figyelembe a sorrendet.
Faktoriális képlet
[szerkesztés]Végül, van egy faktoriálisokat használó könnyen megjegyezhető képlet:
ahol n! az n faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező (n − k)!-sal való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)
Tulajdonságai
[szerkesztés]A binomiális együtthatók összege
[szerkesztés]Ez éppen egy n elemű halmaz részhalmazait számolja le elemszám szerint. Az összegzési képlet levezethető a binomiális tételből az helyettesítéssel.
Alternáló összeg
[szerkesztés]- minden .
Kombinatorikai jelentése: egy halmaznak ugyanannyi páros, mint páratlan elemszámú részhalmaza van. A képlet páratlan n-re azonnal következik a szimmetriából. Tetszőleges n-re belátható a binomiális tétellel és az és (vagy és ) helyettesítéssel.
Eltolt összeg
[szerkesztés]Vandermonde-azonosság
[szerkesztés]Az állítás kombinatorikai érveléssel belátható:
Vegyük gömbök n+m elemű halmazát, amiben m gömb piros. Leszámláljuk a gömbök k elemű részhalmazait aszerint, hogy mennyi piros gömböt tartalmaznak.
Egy másik bizonyítás az felbontásból és az együtthatók összehasonlításából adódik.
Alkalmazásai
[szerkesztés]A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van.
A kombinatorikában
[szerkesztés]A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet n elem közül kiválasztani k-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.
Szemléletesen, kiszámítjuk az összes n hosszú sorozatot, majd kiválasztunk k helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell k!-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (n-k)!-sal is.
Az analízisben
[szerkesztés]Binomiális sorok
[szerkesztés]Ha , és akkor
- ,
amely binomiális sor a mértani sorok általánosítása.
Hogyha , és , akkor a
binomiális sor szintén konvergál.
A bétafüggvény
[szerkesztés]Teljes indukcióval bizonyítható minden -re, hogy
- ,
a szimmetria miatt
A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha , és
- .
A gammafüggvény
[szerkesztés]Minden -re:
- .
esetén a törtek felírhatók integrálokként
a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve
- ,
ahol az utolsó integrálban t-t helyettesítünk t/n-be. Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak. Így az egyenlőtlenség a
alakot nyeri, ahol a határátmenet éppen a Gauss-féle
- ,
alakot adja.[2]
A digamma és az Euler-Mascheroni konstans
[szerkesztés]Minde -re, amire
- ,
ami szerinti indukcióval belátható. Az speciális esetre az egyenlet
- .
Az összeget a sorral helyettesítve
ahol Euler-Mascheroni-konstans és a digammafüggvény, interpolálja a sorozatot.
Általánosításai
[szerkesztés]A binomiális együtthatónak több általánosítása is létezik.
A szorzási képlet alapján általánosítható valós a-kra és egész k-kra:
Minden a-ra és k=0-ra az értéke 1, és minden a-ra és negatív k-kra az értéke 0.
A multinomiális együtthatók az (x1+x2+ … + xm)n alakú polinomok együtthatói. A faktoriális képlet általánosításával számíthatók:
ahol minden ki nemnegatív, és összegük egyenlő n-nel.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM, 25. o. (1998). ISBN 0898714206
- ↑ Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+…, 1813, S. 26 (auch in Carl Friedrich Gauß: Werke. Band 3, S. 145)
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Binomialkoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források
[szerkesztés]- Fowler, David (1996. January). „The Binomial Coefficient Function”. The American Mathematical Monthly 103 (1), 1–17. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2975209.