Dirichlet-sor – Wikipédia
A matematikában Dirichlet-sor minden sor, ami
alakú. Itt s komplex, és a egy komplex sorozat. Az általános Dirichlet-sor speciális esete.
Az analitikus számelméletben a Dirichlet-sornak számos meghatározó szerepe van. A Riemann-féle zéta-függvényt és a Dirichlet-féle L-függvényt is ilyen sorozatokkal definiálják. Azt sejtik, hogy a sorok Selberg-osztálya az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik. A sort Peter Gustav Lejeune Dirichlet után nevezték el.
Kombinatorikai jelentősége
[szerkesztés]A Dirichlet-sorozatok generátorsorozatként használhatók súlyozott halmazok leszámlálásához, ha az elemek súlya összeszorzódik a Descartes-szorzatban.
Ha A w: A → N függvények halmaza, ami súlyt rendel minden elemhez, akkor a súlyfüggvény szerint tetszőleges természetes szám ősképe véges halmaz. A súlyozott halmaz egy (A,w) alakú halmaz, ahol A és w megfelel a fenti tulajdonságoknak. Legyen továbbá an az A halmaz n súlyú elemeinek halmaza. Ekkor A w szerinti formális Dirichlet-féle generátorsora
Ha A, B egy (U, w) súlyozott halmaz diszjunkt részhalmazai, akkor uniójuk Dirichlet-sora a két részhalmaz Dirichlet-sorának összege:
Továbbá, ha (A, u) és (B, v) súlyozott halmazok, akkor definiálhatjuk a Descartes-szorzatukat a következőképpen:
Legyen a súlyfüggvény w: A × B → N, , és a tartóhalmaz . Ekkor:
- ,
ami annak következménye, hogy .
Példák
[szerkesztés]A legismertebb Dirichlet-sor a Riemann-féle zéta-függvényt definiálja:
A konvergenciatartománytól eltekintve:
mivel minden természetes szám egyértelműen felbontható prímhatványok szorzatára. Ez a tény insipálta az Euler-szorzatot.
Ismert továbbá, hogy:
ahol µ a Möbius-függvény. Ez és több más sorozat a Möbius-féle megfordítási formula és a Dirichlet-konvolúció ismert sorozatokra való alkalmazásával megkapható. Ha χ(n) egy Dirichlet-karakter, akkor
ahol L(χ, s) a Dirichlet-féle L-függvény.
Egy másik példa:
Továbbá:
ahol φ(n) az Euler-függvény,
ahol Jk a Jordan-függvény, és
ahol σa(n) az osztóösszeg-függvény. A d=σ0 specializációval
A zétafüggvény logaritmusa:
minden Re(s) > 1-re. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény. A logaritmikus derivált:
Az utóbbi kettő a Dirichlet-sorok deriváltjainak általánosabb kapcsolatának speciális esetei.
A λ(n) Liouville-függvény esetén:
Egy másik példa a Ramanujan-összegről:
Még egy példa a Möbius-függvénnyel:
Formális Dirichlet-sorok
[szerkesztés]Egy R gyűrű feletti formális Dirichlet-sor kapcsolatba hozható egy bizonyos függvénnyel (jelöljük a-val), ami a pozitív egészek halmazából R-be képez.
ahol az összeadás és szorzás definíciója:
ahol
a pontonkénti összeg, és
a és b Dirichlet-konvolúciója.
A formális Dirichlet-sorok gyűrűje, sőt algebrája R fölött Ω, ahol az azonosan nulla függvény a nullelem, és δ(1)=1, δ(n)=0 minden n>1-re az egységelem. A gyűrű egy eleme invertálható, ha a(1) invertálható R-ben. Ha R kommutatív, akkor Ω is; ha R integritási tartomány, akkor Ω is az. A nem nulla multiplikatív függvények az egységek részcsoportjának részcsoportját alkotják Ω-ban. A komplex számok fölötti Dirichlet-sorozatok gyűrűje izomorf a megszámlálható sok változós formális hatványsorok gyűrűjével.[1]
Konvergencia
[szerkesztés]Legyen {an}n ∈ N. Vizsgáljuk azt a tartományt, ahol
előáll, mint a komplex s változó függvénye. Figyelembe véve a fenti sor konvergenciatulajdonságát: ha {an}n ∈ N komplex számok korlátos sorozata, akkor a fent definiált f abszolút konvergens a Re(s) > 1 felső félsíkján. Általában, ha an = O(nk), akkor a sor abszolút konvergens a Re(s) > k + 1 felső félsíkján.
Ha az an + an + 1 + ... + an + k összeg korlátos n-ben és k ≥ 0, akkor a fenti végtelen sorozat konvergál a Re(s) > 0 felső félsíkján.
Mindkét esetben f analitikus a fenti tartományokon.
Általában, a Dirichlet-sor konvergenciaabszcisszája a valós tengely metszete a függőleges egyenessel, amelynek a jobb oldalán a sorozat konvergál, és amitől balra divergál. Ez a Dirichlet-sorokra a hatványsorok konvergenciasugarának analogonja. A Dirichlet-sorok esete bonyolultabb, mert az abszolút konvergencia és az egyenletes konvergencia félsíkja különbözhet.
Sok esetben a Dirichlet-sor által definiált függvény analitikusan folytatható egy nagyobb tartományon.
Deriválás
[szerkesztés]Adott
függvény esetén megmutatható, hogy
feltéve, hogy a jobb oldal konvergál. Ha ƒ(n) teljesen multiplikatív, és feltesszük, hogy a sor konvergál minden Re(s) > σ0-ra,akkor
konvergál Re(s) > σ0-n. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény.
Integráltranszformációk
[szerkesztés]A Dirichlet-sor Mellin-transzformációját a Perron-képlet adja meg.
Kapcsolat a hatványsorokkal
[szerkesztés]Az an sorozat, amit egy olyan Dirichlet-sor, mint generátorfüggvény generál, ami megfelel a következőnek:
ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, akkor an közönséghes generátorfüggvénye
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ (1959) „The ring of number-theoretic functions”. Pacific J. Math. 9, 975–985. o. DOI:10.2140/pjm.1959.9.975. ISSN 0030-8730.
Források
[szerkesztés]- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
- The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press (1915)
- The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
- (2008) „A catalogue of interesting Dirichlet series”. Miss. J. Math. Sci. 20 (1). [2011. október 2-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. április 20.)
- Sablon:Cite arxiv
- Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (1995). ISBN 0-521-41261-7
- Dirichlet series a PlanetMath oldalain
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirichlet series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.