Euler-képlet – Wikipédia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/200px-Euler%27s_formula.svg.png)
Az Euler-képlet a komplex matematikai analízis egy formulája, mely megmutatja, hogy szoros kapcsolat van a szögfüggvények és a komplex exponenciális függvény között. A képletet Leonhard Eulerről nevezték el. (Az Euler-összefüggés az Euler-képlet egy speciális esete.)
Az Euler-képlet azt állítja, hogy minden valós x számra igaz:
ahol
- az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja (=2,71828 …)
Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.[1]
Története
[szerkesztés]Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:
(ahol „ln” a természetes alapú logaritmust jelenti, vagyis az e alapú logaritmust).[2]
Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.
Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontjaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.
Alkalmazás a komplex számok elméletében
[szerkesztés]A képlet úgy interpretálható, hogy az eix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).
Az eredeti bizonyítás az ez exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).
Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komplex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:
ahol
- a valós rész,
- a képzetes rész,
- a z abszolút értéke,
- a z argumentuma (a szög az x tengely és a z vektor között). A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.
Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:
és
mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:
minden -ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:
és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel többértékű.
Végül a másik exponenciális összefüggés:
melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a De Moivre-képlet.
Kapcsolata a trigonometriával
[szerkesztés]Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz- és koszinuszfüggvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:
Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával
majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.
Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:
Más alkalmazások
[szerkesztés]Differenciálegyenleteknél az eix függvényt gyakran a deriválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különösen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.
Az elektrotechnikában és más területeken az időben periodikusan változó jeleket gyakran a szinusz- és koszinuszfüggvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények valós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.
Bizonyítások
[szerkesztés]Taylor-sor felhasználásával
[szerkesztés]A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:
és így tovább. Az ex, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy x valós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:
Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:
A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.
Deriválás felhasználásával
[szerkesztés]Definiáljuk a függvényt a következőképpen:
Ez lehetséges, mivel az
egyenlet magában foglalja, hogy sohasem zéró.
Az deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:
Ennélfogva az -nek konstans függvénynek kell lennie. Így
Átrendezve:
Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával
[szerkesztés]Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:
Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja
mivel definíció szerint i 2 = ‒1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:
vagy
Ezt a differenciálegyenletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:
Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:
tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:
- .
Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:
kifejezhető az állandók értéke:
és végül: