A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora , ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.
Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).
Skalármező Laplace-operátora:
Δ f = div ( grad f ) {\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right)} Vektormezőre :
Δ A → = grad ( div A → ) − rot ( rot A → ) {\displaystyle \Delta {\vec {A}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {A}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {A}}\right)} A divergencia (div) , a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől . Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:
Δ = ∇ → 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 . {\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.} a definíció alapján, ahol ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} a nabla operátor .
Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.
Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós f ( x ) {\displaystyle f(x)} függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:
Δ f ( x ) = d 2 f ( x ) d x 2 {\displaystyle \Delta f(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}} . Az f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:
derékszögű koordinátákban :
Δ f ( x , y ) = ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 + ∂ 2 f ( x , y ) ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f(x,y)={\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}} polárkoordinátákban :
Δ f ( r , ϕ ) = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}} vagy
Δ f ( r , ϕ ) = 1 r ⋅ ∂ ∂ r ( r ⋅ ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}} A f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} háromváltozós függvényre adódik
derékszögű koordináta-rendszerben
Δ f ( x , y , z ) = ∂ 2 f ( x , y , z ) ∂ x 2 + ∂ 2 f ( x , y , z ) ∂ y 2 + ∂ 2 f ( x , y , z ) ∂ z 2 {\displaystyle \Delta f(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial z^{2}}}} hengerkoordinátákban
Δ f ( ρ , ϕ , z ) = 1 ρ ⋅ ∂ ∂ ρ ( ρ ⋅ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta f(\rho ,\phi ,z)={\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \cdot {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}} az f ( r , ϑ , ϕ ) {\displaystyle f(r,\vartheta ,\phi )} gömbi koordinátákkal
Δ f ( r , ϑ , ϕ ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ⋅ ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ϑ ⋅ ∂ ∂ ϑ ( sin ϑ ⋅ ∂ f ∂ ϑ ) + 1 r 2 sin 2 ϑ ⋅ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta \cdot {\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}} Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: 1 r ⋅ ∂ 2 ∂ r 2 ( r ⋅ f ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\cdot f)} vagy akár ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ⋅ ∂ f ∂ r {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}} .
A Laplace-operátor Green-függvénye G Δ ( x , x ′ ) = − 1 4 π ‖ x − x ′ ‖ + F ( x , x ′ ) {\displaystyle G_{\Delta }(x,x')=-{\frac {1}{4\pi \|x-x'\|}}+F(x,x')} mit Δ F ( x , x ′ ) = 0 {\displaystyle \Delta F(x,x')=0} .
Ekkor teljesül: Δ G Δ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \Delta G_{\Delta }(x,x')=\delta (x-x')} , ahol δ {\displaystyle \delta } a delta-disztribúció . Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.
A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben :
Δ φ = 0 {\displaystyle \Delta \varphi =0} Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények .
Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix , azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.
Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} .
A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:
◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − Δ {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta } Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken .
A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha f {\displaystyle f} kétszer differenciálható és R {\displaystyle R} forgatómátrix, akkor
( Δ f ) ∘ R = Δ ( f ∘ R ) {\displaystyle \left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right)} , ahol „ ∘ {\displaystyle \circ } “ a függvénykompozíciót jelöli.
Lásd még: rotáció , divergencia , gradiens
Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás[ szerkesztés ] A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:
1D-szűrő: D → x 2 = [ 1 − 2 1 ] {\displaystyle {\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}} 2D-szűrő: D x y 2 = [ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ] {\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}} A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:
2D-Filter: D x y 2 = [ 1 1 1 1 − 8 1 1 1 1 ] {\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}} Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.
A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra . Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor .
Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.
Az f : M → R {\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} } sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező M {\displaystyle M} -en.
Az M {\displaystyle M} sokaság minden x {\displaystyle x} pontjában fennáll a v ∈ T x M {\displaystyle \,v\in T_{x}M} érintővektorra:
⟨ grad f ( x ) , v ⟩ = d f ( x ) ( v ) {\displaystyle \langle {\mbox{grad}}f(x),v\rangle =\mathrm {d} f(x)(v)} Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x -ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.
A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:
( grad f ) i = ∂ i f = g i j ∂ j f {\displaystyle \left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f} az Einstein-féle összegkonvencióval . Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n -ig megy. A g i j {\displaystyle g^{ij}} -k a g i j {\displaystyle g_{ij}} metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát g i j g j k = δ k i {\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}} , ahol δ k i {\displaystyle \delta _{k}^{i}} a Kronecker-delta.
Az X vektormező divergenciája az M {\displaystyle M} sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek L X {\displaystyle L_{X}} Lie-deriváltjával
( div X ) v o l n := L X v o l n {\displaystyle ({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:={\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}} Ha g {\displaystyle g} a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint
v o l n := | g | d x 1 ∧ … ∧ d x n {\displaystyle \mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}} Itt | g | := | det g i j | {\displaystyle |g|:=|\det g_{ij}|} a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.
A d x i {\displaystyle \mathrm {d} x^{i}} -k a
∂ i := ∂ ∂ x i {\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.
Helyi koordinátákban
div X = 1 | g | ∂ i ( | g | X i ) . {\displaystyle {\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right).} Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:
Δ f = div grad f = 1 | g | ∂ i ( | g | ∂ i f ) {\displaystyle \Delta f={\mbox{div grad}}\;f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\right)} . A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:
Δ f = ∂ i ∂ i f + ( ∂ i f ) ∂ i ln | g | {\displaystyle \Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f+(\partial ^{i}f)\partial _{i}\ln {\sqrt {|g|}}} Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre | g | = 1 {\displaystyle |g|=1} , azért Δ f = ∂ i ∂ i f {\displaystyle \Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f} adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.
A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra | g | = r {\displaystyle |g|=r} és | g | = ρ {\displaystyle |g|=\rho } , a gömbi koordinátákra pedig | g | = r sin θ {\displaystyle |g|=r\sin \theta } .
A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:
Δ f = g i j ( ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j − Γ i j k ∂ f ∂ x k ) {\displaystyle \Delta f=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)} . A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság :
∫ M d f ( X ) v o l n = − ∫ M f div X v o l n {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} f(X)\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}f{\mbox{div}}X\;\mathrm {vol} _{n}} . Alkalmas f és h függvényekre:
∫ M f Δ h v o l n = − ∫ M ⟨ grad f , grad h ⟩ v o l n = ∫ M h Δ f v o l n {\displaystyle \int _{M}f\Delta h\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}\langle {\mbox{grad}}f,{\mbox{grad}}h\rangle \;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}h\Delta f\;\mathrm {vol} _{n}} .
Otto Forster : Analysis 3 . - 3. Auflage. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1984 Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1995