A nabla operátor a matematikában, azon belül pedig a vektoranalízisben alkalmazott differenciáloperátor. A ∇ (nabla) szimbólum jelöli, melynek HTML-kódja: ∇
, Unicode-ban pedig az U+2207 kódhelyen található. A nabla operátor által egyszerűen leírhatóak olyan differenciáloperátorok, mint a gradiens, a divergencia és a rotáció. Egyben vektoroperátor is, melynek komponensei megfelelnek egy adott koordináta-rendszerben a parciális deriváltakat reprezentáló operátoroknak.
Nevét egy föníciai eredetű húros hangszerről kapta, legkorábbi használata az 1870-re tehető.[1][2]
Egy
-dimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben (
), melynek koordinátái
és bázisa
, a nabla-operátor
a következő:
.
A definíció háromdimenziós térben, melynek koordinátái (
), egységvektorainak halmaza pedig
, a következőképp egyszerűsödik le:
![{\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76d82c11031984f27bec14e8f32c6e70943afc2)
A nabla operátor kiterjeszthető más koordinátarendszerekre is, mint például gömbi- vagy hengerkoordinátákra, viszont ezek konkrét megadásához érdemes ismerni a mezőt is, melyen az operátor hat.
A következő egyenletekben
és
skalármezők, míg
és
vektormezők. A műveletek közül
a skaláris szorzatot,
pedig a vektoriális szorzatot jelöli.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cc7515bdc1acdc88b00be5906ae2a6ab7f143d)
Mátrixanalízisben a következő azonosság is gyakran használt, ahol a
és
skaláris szorzata
-ként is írható:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a43f3cdda201d3a119e98e6253f063d517f6e3)
A nabla vektoroperátor jellege lehetővé teszi, hogy skalármezőkre és vektormezőkre is tud hatni, így alkalmazhatósága sokszínű. Egy skalármezőre hatva megkapjuk a gradienst, vektormezőre skaláris szorzattal hatva a divergencia, míg vektoriális szorzattal hatva a rotáció definiálható. A nabla operátort többször alkalmazva olyan magasabb rendű parciális deriváltakat szerepeltető operátorokat fejezhetünk ki, mint a Laplace-operátor vagy a Hesse-mátrix.
Három dimenziós euklideszi térben adott
skalármező gradiense kényelmesen kifejezhető a nabla operátorral:
![{\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3880bd488aee76a6d8b0c41f7df35dca56e264)
Az
mező gradiense adott pontban a legnagyobb meredekség irányába mutat és nagysága meghatározza a meredekség nagyságát. Például, ha egy dombot
és
koordináták szerinti
magasságfüggvénnyel írunk le, a magasságfüggvény gradiense adott pontban egy olyan vektor az
síkon, mely a legnagyobb meredekség irányába mutat, a vektor hossza pedig a meredekség konkrét nagyságát adja meg.
Adott
és
skalármezők szorzatának gradiense a szorzatszabály szerint kiszámolható:
![{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa2629f89d4075d4c3636a2d41cc83d8ab3256e)
Mindazonáltal,
és
vektormezők skaláris szorzatának gradiensét bonyolultabb azonossággal lehet általánosan kifejezni:
![{\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f5816e34fcfd9292c3e79e0b73a81d661fd73a)
Amennyiben
hengerkoordinátákkal van kifejezve, gradiense a következő:
![{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e979d753538af75e4b6244eae8bbf55b3f7369b2)
Továbbá, egy gömbi koordinátarendszerben definiált
gradiense a következőképp írható le:
![{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fefc038a33daa73f372492b95bf5d115410ab84)
Adott
vektormező divergenciája egy skalármező, mely kifejezhető a nabla operátor vektormezővel vett skaláris szorzatával:
![{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60a21a61bd1c123da6028985909513c11dc4279)
Egy vektormező divergenciája azt fejezi ki, hogy adott pontban a vektormező mennyire "terjed ki" vagy "összpontosul". Egy intuitív példa lehet egy fűrészporral beszórt vízfelszín vizsgálata. A kétdimenziós vektormező itt a víz sebessége. Ha egy adott pontba szórt fűrészpor kiterjed a vízfelszínen, akkor a vízsebesség által meghatározott vektormező divergenciája abban a pontban pozitív. Ellenkezőleg, ha egy adott pontban azt észleljük, hogy a fűrészpor elkezd inkább összegyűlni, akkor abban a pontban a vektormező divergenciája negatív. Ebből következik, hogy a divergencia rendkívül hasznos operátor az áramlástan területén, legyen szó akár folyadékokról, akár elektromos áramról.
Egy adott
skalármező és
vektormező szorzata szintén egy vektormező, divergenciája pedig
![{\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab57ee426a0738429dde3b0eb0634c41992d95d0)
Két vektormező vektoriális szorzatának divergenciája a következőképp fejezhető ki:
![{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79092b9acd5818b5c0ed084a6da0fad9a330c772)
Amennyiben a
vektormező hengerkoordinátákban van megadva, a divergenciája a következő:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over \rho }{\partial \left(\rho v_{\rho }\right) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial v_{z} \over \partial z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc5f8226c6d197f097f6e420eaa0549153c7e6c)
Továbbá ha
gömbi koordinátákon van definiálva, a divergenciája a következőképp fejezhető ki:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over r^{2}}{\partial \left(r^{2}v_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(v_{\theta }\sin \theta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0bb088a19240530da789d00f5186601d81b55d7)
Adott
vektormező rotációja a következőképp fejezhető ki a nabla operátorral egy derékszögű koordináta-rendszerben:
![{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831dc28f22a7e1bc567f57056cfc7b918b244a43)
A
a vektoriális szorzatot jelenti, ami vizualizálható egy determináns formájában is:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7724f8c7a5979c0f361db8186531b82eeb6ce16)
A rotáció, nevéből adódóan, azt írja le, hogy egy vektormező mennyire "forog" egy adott pont körül.
Adott
skalármező és
vektormező szorzatának rotációja a következőképp adható meg:
![{\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8d8f4bca895d48d6d65983c02b9b5292fca3e1)
két vektormező vektoriális szorzatának rotációja pedig
![{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94608189640ae49cf18e95e7b230b16fbbc811b7)
Hengerkoordinátákban a
vektormező rotációja a következő:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left({\frac {\partial v_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \left(\rho v_{\varphi }\right)}{\partial \rho }}-{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {z} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ea5c751611b4772cdb2aaf5ae13819fe559a43)
Gömbi koordinátákban megadott
vektormező rotációja pedig:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(v_{\varphi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\theta }\right)-{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1424d2425b0e24b68b823edc67d4d3adc1f9a2)
A nabla operátor önmagával vett skaláris szorzatának eredménye a Laplace-operátor
:
![{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775b4095affd82ce3359d993387cc1ca12548523)
Egy skalármezőre a Laplace-operátort alkalmazva ismét egy skalármezőt kapunk. Vektormezőkön is alkalmazható a Laplace-operátor, ott minden komponensére hat.
A Laplace-operátor
skalármezőn kiértékelve hengerkoordinátákban
![{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820d45923b47bbfba8e3659eb68620a64b2fbe6b)
gömbi koordinátákban pedig
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757f0728a420eeb095b7ff082d6ec022795a962f)
A Hesse-mátrix egy adott skalármező (vagy többváltozós függvény) második deriváltjait tartalmazza, így leírható a nabla operátor segítségével:
![{\displaystyle \mathbf {H} ^{f}(x)=(\nabla \cdot \nabla ^{T})f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ef91bae67a1b8f4c4e7a8903bd3713d3c28500)
Ebben az egyenletben a
a közönséges mátrixszorzatot jelöli, például egy
dimenziós euklidészi térben a
egy
-es mátrix, míg
egy
-es mátrix, így a szorzatuk egy
-es mátrix, ami
skalármezőn kiértékelve a mező (vagy függvény) Hesse-mátrixával egyenlő.
Nablával kifejezhető operátorok azonosságai
[szerkesztés] Amennyiben
és
tetszőlegesen sokszor differenciálható, a következő azonosságok teljesülnek:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4188a4d4d5c26723352677278cb4ddf57c2a369f)
![{\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3a762325091088033a0380cd92adb712ec6cb0)
![{\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )=\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )-\Delta \mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af604f17936884c92d54fc9120d3b4a37ca0018)
- ↑ νάβλα. Perseus Hopper. (Hozzáférés: 2024. augusztus 22.)
- ↑ nabla. Oxford English Dictionary. Oxford University Press. (Hozzáférés: 2024. augusztus 22.)
Ez a szócikk részben vagy egészben a Del című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.