A geometriában a sík két, egymással szöget bezáró vektoránakskaláris szorzata az [1] valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: , , vagy .[2]
A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában,[3] a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.
A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott: és , akkor skaláris szorzatuk épp az
mennyiség.
Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az és n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az
egyenlőséggel definiáljuk.
Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.[4]
Az erővektornak az elmozdulásvektor irányába mutató komponense , így az által végzett munka épp
Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha jelöli az erővektor és az elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor -szorosa, így az erő által végzett munka , és skaláris szorzata.
Az analitikus geometriában először Lagrange 1773-as, Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires[5] című művében bukkan fel a skaláris szorzat. A fogalom modern tárgyalása Gibbs 1901-es (tanítványa, Edwin Bidwell Wilson által lejegyzett) Vector Analysis című művében jelenik meg.[6]
A skalárszorzat definíciójából közvetlenül következnek az alábbi tulajdonságok.
Ha és párhuzamosak és egyező irányításúak, azaz , akkor
Speciálisan, a skalárszorzattal kiszámítható egy vektor hossza:
Ha és párhuzamosak, de ellenkező irányításúak, vagyis , akkor:
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor hajlásszögük koszinusza 0, így skaláris szorzatuk is nulla. Megfordítva, ha két, egymással szöget bezáró (nem nulla hosszúságú) vektor skaláris szorzata nulla, akkor
és így . Követve azt a konvenciót, hogy a nullvektor minden vektorra merőleges, a fentieket úgy foglalhatjuk össze, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a szorzatuk nulla.
Ha és hegyesszöget zár be, akkor Ha és szöge tompaszög, akkor
A skaláris szorzat szimmetrikus (a műveleteknél megszokott szóhasználattal: kommutatív), mivel
Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete: Ebből következően , és akkor és csak akkor, ha Az ilyen leképezéseket pozitív definitnek nevezzük.
Minden argumentumában homogén:
minden és vektorra és minden valós számra.
Minden argumentumában additív:
és
minden és vektorra.
Mivel a skaláris szorzat nem a tényezőkkel azonos dimenziójú vektor, hanem skalár, azért valódi asszociativitás nem értelmezhető.
Általában , hiszen az első szorzatban egy a második szorzatban egy irányú vektort kapunk.
A skalárszorzat bilineáris, azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges skalárra és vektorokra
(B1) és
(B2) .
A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy
(B3) és
(B4) .
(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen )
A bilinearitás a (valós) skaláris szorzat egyik legfontosabb tulajdonsága amellett, hogy kiszámítható vele egy vektor normája (hossza). Ezeken alapul a skaláris szorzás alkalmazása a lineáris algebrában.
Az a és b vektorok a θ közrezárt szöggel. az vetülete -re.
Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy vektorra a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha egy másik vektor, akkor
ahol és jelöli az és vektor hosszát, pedig az általuk bezárt szög.
Mivel az vektornak -re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint -nak irányába eső komponensének és -nek a szorzatát.
Mivel nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha és vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.
Így a két vektor közötti szög:
A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.
A vektoriális szorzás egy másik művelet, aminek eredménye szintén vektor. A vektoriális szorzat merőleges a tényezők által kifeszített síkra, és hossza megegyezik a tényezők által kifeszített paralelogramma területével. A kétféle szorzást a következő szabályok kapcsolják össze:
A skalárszorzás segítségével egy lineáris egyenletrendszer minden egyenlete hipersíknak tekinthető. Legyen a rendszerben egyenlet, a változók száma pedig ! Ekkor
úgy, hogy
és .
így a lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza hipersíkok metszeteként definiálható.
A fenti tulajdonságokat tekintetbe véve a skalárszorzat általánosítható tetszőleges valós vagy komplex vektortérre. A skaláris szorzat egy függvény, ami két vektorhoz egy testelemet (skalárt) rendel, a megadott tulajdonságoknak megfelelően. Lehetséges, hogy több bilineáris forma is megfelel skaláris szorzatként. Komplex számtest fölött a definíciót módosítani kell, hogy a skaláris szorzat pozitív definit legyen, mivel általában nincs olyan komplex bilineáris forma, ami pozitív definit és szimmetrikus.
Az általánosított esetben a jelölések is különböznek az alapesettől. A vektorterek elemein nem jelölik, hogy vektorok. Az és vektorok skaláris szorzatát nem szorzóponttal, hanem hegyers zárójellel jelzik: . További jelölések: főleg a kvantummechanikában , lásd Bra-Ket-jelölés; és .
Egy valós vektortéren egy skaláris szorzás egy szimmetrikus pozitív definit bilineáris alak, vagyis tetszőleges és esetén teljesülnek:
mindkét argumentumban lineáris:
szimmetrikus:
pozitív definit:
pontosan akkor, ha
Egy komplex vektortéren egy skaláris szorzás egy hermitikus sesquilinearis forma, vagyis tetszőleges és esetén teljesülnek:
sesquilinearis:
(első argumentumban féllineáris)
(második argumentumban lineáris)
hermitikus:
pozitív definit:
(Az, hogy valós, következik a második feltételből)
akkor és csak akkor, ha
Egy skaláris szorzattal ellátott valós vagy komplex vektorteret skalárszorzatosa térnek vagy prehilbert-térnek neveznek. Skalárszorzattal ellátott véges valós vektortereket neveznek euklideszi vektortereknek; komplex esetben unitér terekről beszélnek. Így beszélnek euklideszi és unitér skalárszorzatokról is. Az euklideszi skalárszorzat kifejezést használják a fent bevezetett skalárszorzásra és a később leírt standard skalárszorzatra is -ben.
Gyakran minden szimmetrikus bilineáris alakot, illetve hermitikus sesquilinearis formát skaláris szorzatnak neveznek; ezzel a szóhasználattal a fenti definíciók pozitív definit skalárszorzatokat írnak le.
A fent leírt axiómarendszerek nem minimálisak. A valós esetben a szimmetria miatt az első argumentumban való linearitásból következik, hogy a másik argumentumban is lineáris. Hasonlóan, a komplex esetben az Hermite-tulajdonságból és az első argumentumban való semilinearitásból következik a másik argumentumban való linearitás, és fordítva.
Komplex esetben a skaláris szorzatot időnként úgy definiálják, hogy az első argumentumban lineáris és a második argumentumban semilinearis. Ezt a verziót használják inkább a matematikában, különösen az analízisben; míg a fizikában főként a fenti definíciót részesítik előnyben. Lásd még: Bra- és Ket-vektorok. A két definíció abban különbözik, hogy másként hat a skaláris szorzat a homogenitásra:
és és . Az additivitás mindkét verzióban ugyanaz. Ugyanúgy egyeznek a normák is.[8]
Egy prehilbert tér, ami teljes a skalárszorzat által indukált normára, Hilbert-tér.
A komplex és a valós eset közötti különbség abból adódik, hogy egy komplex hermitikus sesquilinearis forma a valósban megfelel egy szimmetrikus bilineáris formának.
Az euklideszi skalárszorzat Descartes-koordinátákban való ábrázolásából kiindulva definiáljuk a skalárszorzatot az térben:
ahol . A fent definiált skalárszorzat az euklideszi térben megfelel az speciális esetnek.
A komplex dimenziós vektortér esetén a standard skalárszorzat
ahol , és a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A matematikában gyakran az alternatív definíciót használják, ahol a második argumentumban konjugálnak:
A standard skalárszorzat -ben, illetve -ben kifejezhető mátrixszorzásként, ahol a vektorokat -es mátrixként értelmezzük. Valós esetben
ahol az vektorból transzponált sorvektor. Komplex esetben (az első argumentumban konjugáló típus):
Általánosabban, bármely szimmetrikus és pozitív definit mátrix esetén az
mátrixszorzat szintén skaláris szorzat. Hasonlóan, komplex esetben bármely hermitikus pozitív definit mátrix esetén az
mátrixszorzat is skaláris szorzat. A hegyes zárójelek a standard skalárszorzatot, az indexszel ellátott hegyes zárójelek az mátrix segítségével definiált skaláris szorzatot jelölik.
Az , illetve terekben minden skaláris szorzat ábrázolható ezen a módon.
Egy euklideszi térben definiált vektor hosszának általános vektorterekben a skalárszorzat által indukált norma felel meg. Az indukált norma:
ami megfelel az euklideszi térben a standard skalárszorzatból számítható skalárszorzatnak. A normaaxiómák által megkövetelt háromszög-egyenlőtlenség a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségből következik:
Ha akkor ez az egyenlőtlenség átalakítható úgy, mint:
Ebből valós vektorterekben kiszámítható a közrezárt szög koszinusza, amivel meghatározható a közrezárt szög is:
Az így kiszámított szög 0° és 180° közé esik, tehát 0 és közé. Komplex vektorterek esetében többféle definíció is létezik.[9]
Általános vektorterekben, ha a skaláris szorzat nullával egyenlő, akkor a vektorok ortogonálisak (ez a merőlegesség általánosítása):
Legyen egy dimenziós vektortér, egy bázisa -nek! Ekkor minden skalárszorzat leírható egy -es mátrixszal, ami a skaláris szorzat Gram-mátrixa, melynek szokásos jelölése . Ez írja le a bázisvektorok skalárszorzatait:
ahol minden esetén.
A skaláris szorzat kifejezhető a bázis segítségével: Ha az vektorok a bázisban úgy vannak felírva, mint:
és
így valós esetben
Jelölje most a koordinátavektorokat:
und
így teljesül továbbá, hogy
ahol a mátrixszorzásból egy -es mátrix adódik, azaz egy skalár. Itt az oszlopvektorból transzponált sorvektor.
Komplex esetben hasonlóan:
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti, és az oszlopvektorhoz adjungált sorvektor.
Ha ortonormált bázis, azaz minden -re, és minden esetén, akkor a Gram-mátrix az egységmátrix, és
valós esetben,
komplex esetben.
Ortonormált bázis esetén az és vektorok skalárszorzata megfelel az és illetve koordinátavektorok standard skalárszorzatának.
A pozitív definit követelmény eltávolításával, de a szimmetria megtartásával pszeudo-skalárszorzatokhoz jutunk. Erre példa a speciális relativitáselméletben a Minkowski-vektortér, ami a gravitációelméletben érintőtérként is fellép.