Costante di Eulero-Mascheroni
Costante di Eulero-Mascheroni | |
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Simbolo | γ |
Valore | 0,57721566490153286060... (sequenza A001620 dell'OEIS) |
Origine del nome | Eulero e Lorenzo Mascheroni |
Frazione continua | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (sequenza A002852 dell'OEIS) |
Campo | numeri reali (congetturato irrazionale) |
Costanti correlate | Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens |
La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:
dove è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:
- 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...[1]
Non è noto se sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.[2]
Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.
Rappresentazione integrale
[modifica | modifica wikitesto]La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:
- dove le parentesi indicano la funzione parte intera (floor)
Altri integrali collegati con sono:
Sviluppo in serie
[modifica | modifica wikitesto]La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:
È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:
- dove, nuovamente, le parentesi indicano la funzione parte intera (floor).
Essa si generalizza in
per ogni intero .
Collegamento con le funzioni speciali
[modifica | modifica wikitesto]La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.
Presenza in teoria dei numeri
[modifica | modifica wikitesto]La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi
noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet
Inoltre,
dove e sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di (Sondow 2005).
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Il record per il calcolo di γ è di 108 000 000 di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
- ^ havil, p. 97.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su costante di Eulero-Mascheroni
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Eulero-Mascheroni, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
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