フォイエルバッハ点

三角形幾何学（ドイツ語版）において、フォイエルバッハ点（フォイエルバッハてん^[1][2]、英: Feuerbach point）は三角形の九点円と内接円の接点を指す用語である。三角形の心として、クラーク・キンバーリング（英語版）のEncyclopedia of Triangle CentersではX(11)に登録されている。名称は、カール・フォイエルバッハに由来する^[3][4]。

フォイエルバッハの定理（Feuerbach's theorem）は1822年^[5]、フォイエルバッハによって発表された定理で、内接円と同様に、傍接円も九点円と接することが示された^[6][7]。最も単純な証明の一つに内接円と傍接円と九点円の5円に対しケーシーの定理を適用するものや^[8]、自動定理証明を用いたものがある^[9]。澤山勇三郎はこの定理の証明を多く残した^[10][11][12]。

3つの傍接円と九点円の接点が成す三角形はフォイエルバッハ三角形（Feuerbach triangle）と呼ばれる。フォイエルバッハの定理の一般化にフォントネーの定理がある。

三角形の内接円とは、三角形の3つの辺に内接する円である。その中心である内心は、三角形の内角の二等分線の交点である。

三角形の九点円とは三角形の辺の中点から成る中点三角形と頂垂線の足から成る垂足三角形の外接円である。

この2円はただ一点で交わる、つまり接する。この点を三角形のフォイエルバッハ点という。

三角形の内接円と同様に、三角形には傍接円が存在する。傍接円は三角形の辺の1つと接し、さらに他の2辺の延長と接する円である。3つぼ傍接円もまた九点円と接する。その接点はフォイエルバッハ三角形と呼ばれる三角形を成す。

フォイエルバッハ点の定義よりフォイエルバッハ点、内心、九点中心（英語版）は共線である^[3][4]。この直線をIN線という^[13]。

${\displaystyle x,y,z}$をそれぞれフォイエルバッハ点と中点三角形の各頂点の距離とする^[14][15]。このとき

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$

つまり、${\displaystyle x,y,z}$のうちもっとも大きいものは他の2つの和と等しい。特に${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,}$ である^{[15]:Propos. 3}。ただし、Oは基準三角形の外心でIは内心、Rは外半径である。OIはオイラーの定理により計算できる。

同様に、傍接円と九点円の接点と傍接円が接する辺の中点の距離は、他二つの辺の中点の距離の差の絶対値と等しい^[15]。

△ABCの接触三角形を△XYZ、中点三角形を△PQR、フォイエルバッハ点をFとする。△FPX,△FQY,△FRZはそれぞれ三角形△AOI,△BOI,△COIに相似である^{[15]:Propos. 4}。

フォイエルバッハ点は三線座標を用いて次の様に表される^[4]。

${\displaystyle 1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B).}$

重心座標では^[15]

${\displaystyle (s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},}$

である。ただしsは半周長。

フォイエルバッハ三角形と基準三角形は配景の関係にある。配景の中心はEncyclopedia of Triangle CentersにおいてX(12)として登録されている^[4]。また、フォイエルバッハ点の九点中心と内心に対する調和共役点である。三線座標は以下の式で与えられる。

${\displaystyle 1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B).}$

1. ^ 一松, 信 編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、30頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。 
2. ^ Evan Chen 著、兒玉 太陽, 熊谷 勇輝 , 宿田 彩斗 , 平山 楓馬 訳『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年、150頁。ISBN 978-4535789784。 
3. ^ ^{a b} Kimberling, Clark (1994), “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”, Mathematics Magazine 67 (3): 163–187, doi:10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR 2690608, MR1573021, https://jstor.org/stable/2690608 .
4. ^ ^{a b c d} Encyclopedia of Triangle Centers Archived April 19, 2012, at the Wayback Machine., accessed 2014-10-24.
5. ^ Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN512512426 .
6. ^ Scheer, Michael J. G. (2011), “A simple vector proof of Feuerbach's theorem”, Forum Geometricorum 11: 205–210, arXiv:1107.1152, MR2877268, http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201121.pdf .
7. ^ “フォイエルバッハの定理と計算による証明”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月15日閲覧。
8. ^ Casey, J. (1866), “On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane”, Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396–423, JSTOR 20488927, https://jstor.org/stable/20488927 . See in particular the bottom of p. 411.
9. ^ Chou, Shang-Ching (1988), “An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry”, Journal of Automated Reasoning 4 (3): 237–267, doi:10.1007/BF00244942, MR975146 .
10. ^ ウジェーヌ・シャルル・カタラン 著、長沢亀之助 訳『幾何学定理及問題 3版』国定教科書共同販売所、1914年、610頁。doi:10.11501/930992。 
11. ^ 森本清吾『沢山勇三郎全集』岩波書店、1938年。doi:10.11501/1239383。 
12. ^ 沢山勇三郎, 森本清吾『初等幾何学』積善館、1931年。doi:10.11501/1174278。 
13. ^ “CENTRAL LINES”. faculty.evansville.edu. 2024年7月15日閲覧。
14. ^ Weisstein, Eric W. "Feuerbach Point". mathworld.wolfram.com (英語).
15. ^ ^{a b c d e} Sandor Nagydobai Kiss (2016). “A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension”. Forum Geometricorum vol 16: 283–290. https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf. 

• Thébault, Victor (1949), “On the Feuerbach points”, American Mathematical Monthly 56 (8): 546–547, doi:10.2307/2305531, JSTOR 2305531, MR0033039, https://jstor.org/stable/2305531 .
• Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), “A note on the Feuerbach point”, Forum Geometricorum 1: 121–124 (electronic), MR1891524 .
• Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), “The Feuerbach point and Euler lines”, Forum Geometricorum 6: 191–197, MR2282236 .
• Vonk, Jan (2009), “The Feuerbach point and reflections of the Euler line”, Forum Geometricorum 9: 47–55, MR2534378 .
• Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), “Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point”, Forum Geometricorum 12: 39–46, MR2955643 .