Secans en cosecans

De secans, Latijn voor 'de snijdende', en cosecans zijn twee verwante goniometrische functies. Ze worden aangeduid met sec en csc, of soms met cosec.

Van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$ in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|OC\|}}=\|OT\|}$

De secans van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$ in een rechthoekige driehoek is dus de omgekeerde van de cosinus van deze hoek:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {1}{\cos(b)}}}$

De volgende vergelijking kan uit de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras worden afgeleid:

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)}$

Zoals voor alle goniometrische functies is

${\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )}$

De secans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle |x|<\pi /2}$:

${\displaystyle \sec(x)=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$

Daarin is ${\displaystyle E_{n}}$ een eulergetal.

Van een scherpe hoek ${\displaystyle \alpha }$ in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)=\sec(90^{\circ }-b)}$

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|CP\|}}=\|OK\|}$

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {1}{\sin(b)}}}$

De volgende vergelijking kan worden afgeleid:

${\displaystyle \cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)}$

De cosecans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle 0<|x|<\pi /2}$:

${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$

Daarin is ${\displaystyle B_{n}}$ het ${\displaystyle n}$-de bernoulligetal.