Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich i – wspólna granica ciągów określonych rekurencyjnie:
Granica ta istnieje dla dowolnych rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia średniej arytmetyczno-geometrycznej.
Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb i najpierw należy wyliczyć wartości średnich:
i dalej rekurencyjnie:
| | |
0 | 24 | 6 |
1 | 12 | 9,6 |
2 | 10,733126291999… | 10,666666666666… |
3 | 10,699844879622… | 10,699793280161… |
4 | 10,699819079861… | 10,699819079829… |
5 | 10,699819079845… | 10,699819079845… |
Przy oznaczeniach:
- – średnia arytmetyczno-geometryczna liczb i
- – średnia geometryczno-harmoniczna liczb i
zachodzą następujące zależności: