Człon inercyjny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Człon inercyjny – w automatyce to układ, którego transmitancja ma postać

${\displaystyle G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})\dots (1+sT_{n})}},}$

gdzie:

${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ – wzmocnienie układu,

${\displaystyle T_{i}\in \mathbb {R} ^{+},i=1,2,\dots ,n}$ – stałe czasowe inercji,

${\displaystyle n}$ – rząd inercji członu.

Człon inercyjny pierwszego rzędu ma transmitancję postaci:

${\displaystyle G(s)={\frac {k}{1+sT}}.}$

Odpowiedź impulsowa:

${\displaystyle g(t)={\frac {k}{T}}\ e^{-{\frac {t}{T}}}\cdot \mathbf {1} (t).}$

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi:

• w dziedzinie operatorowej:

${\displaystyle H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{1+sT}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT)}},}$

• w dziedzinie czasu:

${\displaystyle h(t)=k\left(1-e^{-{\frac {t}{T}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}$

Charakterystyka sinusoidalna członu inercyjnego I rzędu wynosi:

${\displaystyle y(t)={\frac {kT\omega }{1+\omega ^{2}T^{2}}}e^{-{\frac {t}{T}}}+{\frac {k}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}\sin(\omega t+\phi ).}$

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

${\displaystyle G(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}}-j{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}},}$

przyjmując ${\displaystyle G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega ),}$ otrzymuje się:

${\displaystyle P(\omega )={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}},}$

${\displaystyle Q(\omega )=-{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}}.}$

Charakterystyka fazowa:

${\displaystyle \phi (\omega )=-\operatorname {arctg} \,(\omega T).}$

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać:

${\displaystyle G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}.}$

Odpowiedź impulsowa:

${\displaystyle g(t)={\frac {k}{T_{1}-T_{2}}}\left(e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}$

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego II rzędu wynosi:

• w dziedzinie operatorowej:

${\displaystyle H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT_{1})(1+sT_{2})}},}$

• w dziedzinie czasu:

${\displaystyle h(t)=k\left(1-{\frac {T_{1}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}+{\frac {T_{2}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}$

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

${\displaystyle G(j\omega )={\frac {k}{(1+j\omega T_{1})(1+j\omega T_{2})}},}$

przyjmując ${\displaystyle G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega )}$ po przekształceniach, otrzymuje się:

${\displaystyle P(\omega )={\frac {k(1-\omega ^{2}T_{1}T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}},}$

${\displaystyle Q(\omega )={\frac {-k\omega (T_{1}+T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}}.}$

Charakterystyka fazowa:

${\displaystyle \phi (\omega )=\operatorname {arctg} \,{\frac {\omega (T_{1}+T_{2})}{\omega ^{2}T_{1}T_{2}-1}}.}$

• człon proporcjonalny, człon całkujący, człon różniczkujący, człon opóźniający, człon oscylacyjny
• funkcja skokowa Heaviside’a
• inercja