Czterowektor – Wikipedia, wolna encyklopedia

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych ${\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})}$ należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów ${\displaystyle O}$ oraz ${\displaystyle O'}$ mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator ${\displaystyle O'}$ porusza się względem obserwatora ${\displaystyle O}$ z prędkością ${\displaystyle v}$ w kierunku osi ${\displaystyle x,}$ to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

${\displaystyle A^{'0}=\gamma \left(A^{0}-{\frac {v}{c}}A^{1}\right),}$

${\displaystyle A^{'1}=\gamma \left(A^{1}-{\frac {v}{c}}A^{0}\right),}$

${\displaystyle A^{'2}=A^{2},}$

${\displaystyle A^{'3}=A^{3},}$

gdzie:

• ${\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})}$ – wyniki pomiarów obserwatora ${\displaystyle O,}$
• ${\displaystyle A^{'\alpha }=(A^{'0},A^{'1},A^{'2},A^{'3})}$ – wyniki pomiarów obserwatora ${\displaystyle O',}$
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$
• ${\displaystyle c}$ – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę ${\displaystyle A^{0}}$ nazywa się współrzędną czasową.

Liczby ${\displaystyle A^{1},A^{2},A^{3}}$ nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

${\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},{\vec {A}}),}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})}$ – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj.

${\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})}$ – wektor kowariantny

oraz

${\displaystyle A_{0}=A^{0},\;A_{1}=-A^{1},\;A_{2}=-A^{2},\;A_{3}=-A^{3}.}$

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

${\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},-{\vec {A}}),}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})}$ – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Uwaga: Ogólna transformacja Lorentza może być reprezentowana za pomocą macierzy 4x4 Λ. Wtedy działanie transformacji Lorentza na 4-wektor kontawariantny A, reprezentowany w postaci wektora kolumnowego, jest dana za pomocą mnożenia macierzy przez wektor.

4-wektory w postaci kowariantnej przedstawia się wtedy w postaci wierszowej; takie wektory transformują się za pomocą mnożenia przez macierz transponowaną względem macierzy odwrotnej do macierzy Lorentza Λ.

Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego ${\displaystyle g_{\alpha \beta }{:}}$

${\displaystyle A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta },}$

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując ${\displaystyle \beta =0,1,2,3.}$

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$)

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej.

Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora, mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego ${\displaystyle g^{\alpha \beta }{:}}$

${\displaystyle A^{\alpha }=g^{\alpha \beta }A_{\beta },}$

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując ${\displaystyle \beta =0,1,2,3.}$

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$), czyli

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

${\displaystyle A^{0}=A_{0},A^{1}=-A_{1},A^{2}=-A_{2},A^{3}=-A_{3}.}$

Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

${\displaystyle ||\mathbf {A} ||^{2}=A_{\alpha }A^{\alpha },}$

${\displaystyle ||\mathbf {A} ||^{2}=g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }}$ lub

${\displaystyle ||\mathbf {A} ||^{2}=g^{\alpha \beta }A_{\alpha }A_{\beta },}$

przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach, przyjmując ${\displaystyle \alpha ,\beta =0,1,2,3.}$

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

• ${\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }=A_{0}A^{0}+A_{1}A^{1}+A_{2}A^{2}+A_{3}A^{3},}$
• ${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }A_{\alpha }A_{\beta }=A_{0}A_{0}-A_{1}A_{1}-A_{2}A_{2}-A_{3}A_{3},}$
• ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }=A^{0}A^{0}-A^{1}A^{1}-A^{2}A^{2}-A^{3}A^{3}}$

lub

• ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}.}$

Z ostatniego wzoru widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumę kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera.

Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:

• czasowe – gdy ${\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }>0,}$
• zerowe – gdy ${\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }=0,}$
• przestrzenne – gdy ${\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }<0.}$

Powyższe własności 4-wektorów są niezależne od układu odniesienia, gdyż: dokonując transformacji Lorentza danego 4-wektora do innego układu, otrzyma się inne współrzędne, ale jego długość nie zmieni się. Mówi się, że powyższe własności długości 4-wektorów są Lorentzowsko niezmiennicze. Np. 4-wektor czasowy w jednym układzie będzie wektorem czasowym w każdym układzie odniesienia.

Iloczyn skalarny 4-wektorów definiuje się następująco:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =A_{\alpha }B^{\alpha },}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =g_{\alpha \beta }B^{\alpha }A^{\beta }}$ lub

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =g^{\alpha \beta }B_{\alpha }A_{\beta }.}$

Tak zdefiniowany Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Gdy ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} ,}$ to powyższe wzory sprowadzają się do wzorów na długość 4-wektora, podane wyżej.

Niezmienniczość podziału 4-wektorów na czasowe, zerowe i przestrzenne prowadzi do wniosków:

(1) Tylko wtedy, gdy dwa zdarzenia są oddzielone czasowym lub zerowym interwałem czasoprzestrzennym, to można o jednym z nich powiedzieć, iż jest wcześniejsze niż drugie; i to zdarzenie wcześniejsze może (ale nie musi) mieć wpływ na zdarzenie późniejsze

Uwaga: Zdarzenie wcześniejsze wywrze wpływ na zdarzenie późniejsze, gdy podczas zajścia zdarzenia wcześniejszego nastąpi emisja pola fizycznego, które poruszając się z prędkością światła dotrze do zdarzenia późniejszego i ponadto wywrze na nie wpływ.

(2) Zdarzenia oddzielone interwałem przestrzennym nie mogą mieć wpływu na siebie, gdyż żadne oddziaływanie, nawet poruszające się z prędkością światła, nie jest w stanie dotrzeć od jednego ze zdarzeń do drugiego; takim zdarzeniom nie można przypisać też absolutnej kolejności czasowej.

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

• postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)

${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\equiv (ct,x,y,z)\equiv (ct,{\vec {r}}),}$

• postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)

${\displaystyle x_{\mu }=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\equiv (ct,-x,-y,-z)\equiv (ct,-{\vec {r}}).}$

Współrzędna ${\displaystyle x^{0}=ct}$ – tzw. współrzędna czasowa, ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ – tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili ${\displaystyle t}$ w położeniu ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z),}$ co obserwator ${\displaystyle O}$ opisuje za pomocą czterowektora ${\displaystyle x^{\mu }=(ct,x,y,z).}$

Temu samemu zdarzeniu inny obserwator ${\displaystyle O'}$ przypisze własny czterowektor ${\displaystyle x^{'\mu }=(ct',x',y',z'),}$ zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą, obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator ${\displaystyle O'}$ porusza się względem obserwatora ${\displaystyle O}$ z prędkością ${\displaystyle v}$ w kierunku osi ${\displaystyle x}$ – przy czym ${\displaystyle v}$ oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

${\displaystyle ct'=\gamma \,\left(ct-{\frac {v}{c}}x\right),}$

${\displaystyle x'=\gamma \,\left(x-{\frac {v}{c}}ct\right),}$

${\displaystyle y'=y,}$

${\displaystyle z'=z.}$

Zapisując współrzędne w postaci ${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}),}$ transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

${\displaystyle x^{'0}=\gamma \,\left(x^{0}-{\frac {v}{c}}x^{1}\right),}$

${\displaystyle x^{'1}=\gamma \,\left(x^{1}-{\frac {v}{c}}x^{0}\right),}$

${\displaystyle x^{'2}=x^{2},}$

${\displaystyle x^{'3}=x^{3}.}$

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast ${\displaystyle v}$ symbol ${\displaystyle -v}$ i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

${\displaystyle ct=\gamma \,\left(ct'+{\frac {v}{c}}x'\right),}$

${\displaystyle x=\gamma \,\left(x'+{\frac {v}{c}}ct'\right),}$

${\displaystyle y=y',}$

${\displaystyle z=z'.}$

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ zachodzące w czasoprzestrzeni, np. ${\displaystyle A}$ – cząstka mija bramkę, ${\displaystyle B}$ – następuje eksplozja supernowej. Obserwator ${\displaystyle O}$ przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

${\displaystyle R_{A}(ct_{A},x_{A},y_{A},z_{A}),}$

${\displaystyle R_{B}(ct_{B},x_{B},y_{B},z_{B}).}$

Różnica czterowektorów jest czterowektorem ${\displaystyle R_{A}-R_{B},}$ którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(R_{B}-R_{A})^{2}=(ct_{B}-ct_{A})^{2}-(x_{B}-x_{A})^{2}-(y_{B}-y_{A})^{2}-(z_{B}-z_{A})^{2}.}$

(2) Obserwator ${\displaystyle O'}$ przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

${\displaystyle R_{A}(ct_{A}',x_{A}',y_{A}',z_{A}'),}$

${\displaystyle R_{B}(ct_{B}',x_{B}',y_{B}',z_{B}').}$

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni, otrzyma

${\displaystyle (\Delta s')^{2}=(R_{B}'-R_{A}')^{2}=(ct_{B}'-ct_{A}')^{2}-(x_{B}'-x_{A}')^{2}-(y_{B}'-y_{A}')^{2}-(z_{B}'-z_{A}')^{2}.}$

(3) Ponieważ współrzędne ${\displaystyle (ct_{A},x_{A},y_{A},z_{A})}$ związane są ze współrzędnymi ${\displaystyle (ct_{A}',x_{A}',y_{A}',z_{A}')}$ za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia ${\displaystyle B,}$ to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia, otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla ${\displaystyle (\Delta s)^{2},}$ tj.

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta s')^{2}.}$

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie ${\displaystyle A}$ polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie ${\displaystyle B}$ polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

${\displaystyle [c(t_{B}-t_{A})]^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2},}$

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą, otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność ta jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

(1) Df. Różniczką ${\displaystyle ds}$ interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej.

(2) Np. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

${\displaystyle R_{A}=(ct,x,y,z),}$

${\displaystyle R_{B}=R_{A}+dR=(ct+c\,dt,x+dx,y+dy,z+dz),}$

to różniczkowy 4-wektor dzielący te zdarzenia wynosi

${\displaystyle dR=(c\,dt,dx,dy,dz).}$

Jego długość oblicza się z ogólnego wzoru na długość 4-wektora, tj.

${\displaystyle ds^{2}\equiv (dR)^{2}=(c\,dt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^{2}.}$

Jeżeli współrzędne zdarzenia ${\displaystyle A}$ oznaczymy symbolami ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},}$ a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

${\displaystyle dx^{0}\equiv c\,dt,\,dx^{1}\equiv dx,\,dx^{2}\equiv dy,\,dx^{3}\equiv dz,}$

to różniczka ${\displaystyle ds}$ wyrazi się w zwartej formie wzorem

${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },}$

gdzie ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}$

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału ${\displaystyle ds}$ wyrazi się wzorem

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },}$

gdzie ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ – tensor metryczny w punkcie ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}$

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

${\displaystyle u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{ds}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle ds}$ – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości,
• ${\displaystyle dx^{\mu }=(c\,dt,dx^{1},dx^{2},dx^{3})}$ – czterowektor infinitezymalnego przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

${\displaystyle ds^{2}=dx_{\mu }dx^{\mu }=c^{2}dt^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}$

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

gdzie ${\displaystyle d\tau }$ – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym ${\displaystyle \tau }$ – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:

Różniczka interwału ${\displaystyle ds}$ dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki ${\displaystyle d\tau ,}$ tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia, zamierzonego zegarem poruszającym się z cząstką.

Dowód:

W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj. ${\displaystyle dx'=dy'=dz'=0.}$ Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem ${\displaystyle d\tau \equiv dt'}$ i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki, otrzyma się szukany wzór:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-(dx')^{2}-(dy')^{2}-(dz')^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$ cnd.

– infinitezymalny upływ czasu ${\displaystyle dt}$ mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną ${\displaystyle {\vec {v}},}$ jest większy o czynnik ${\displaystyle \gamma }$ od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym ${\displaystyle \gamma }$ jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości ${\displaystyle {\vec {v}}}$).

Dowód:

Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń i czasu mamy

${\displaystyle c\,dt=\gamma \,\left(c\,d\tau +{\frac {v}{c}}dx'\right),}$

gdzie przyjęto oznaczenie ${\displaystyle d\tau \equiv dt'.}$ Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj. ${\displaystyle dx'=0.}$ Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)

${\displaystyle c\,dt=\gamma c\,dt',}$ cnd.

Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:

Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:

${\displaystyle ds=c\,d\tau =c\,dt{\frac {1}{\gamma }}=c\,dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.

${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {dx^{i}}{cdt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}=v^{i}{\frac {\gamma }{c}},}$

gdzie: ${\displaystyle i=1,2,3}$ oraz ${\displaystyle v^{i}}$ – współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})\equiv (v^{1},v^{2},v^{3}),}$ takie że:

• ${\displaystyle v^{1}=v_{x}={\frac {dx^{1}}{dt}},}$
• ${\displaystyle v^{2}=v_{y}={\frac {dx^{2}}{dt}},}$
• ${\displaystyle v^{3}=v_{z}={\frac {dx^{3}}{dt}}.}$

${\displaystyle u^{0}={\frac {cdt}{cdt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}=\gamma .}$

Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości ${\displaystyle {\vec {v}}}$ cząstki

${\displaystyle u^{\mu }=(\gamma ,{\vec {v}}{\frac {\gamma }{c}}).}$

Dowód: Pisząc równość ${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$ i dzieląc ją obustronnie przez ${\displaystyle ds^{2},}$ otrzyma się

${\displaystyle 1=\eta _{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

Korzystając z definicji czterowektora prędkości, otrzymuje się

${\displaystyle 1=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu },}$

lub równoważnie – po opuszczeniu jednego wskaźnika

${\displaystyle 1=u_{\nu }u^{\nu }.}$

Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.

Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy – nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru – w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku. b) Podstawiając do wzoru na ${\displaystyle \gamma }$ wartość ${\displaystyle v=c,}$ uzyska się symbol nieoznaczony.

Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła – wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu ${\displaystyle \gamma .}$

Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama – niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).

Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór ${\displaystyle dt=\gamma \,d\tau }$ otrzyma się

${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

– wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością ${\displaystyle v,}$ gdy w układzie spoczywającym upływa czas ${\displaystyle dt.}$ Podstawiając do tego wzoru ${\displaystyle v=c,}$ otrzyma się ${\displaystyle d\tau =0}$ – dla światła czas nie płynie.

Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) – wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie ${\displaystyle -1,}$ bo wtedy ${\displaystyle ||\mathbf {u} ||^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=-1.}$

Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn. ${\displaystyle {\vec {v}}=0}$ – wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać ${\displaystyle u^{\mu }=\left(\gamma ,{\vec {v}}{\frac {\gamma }{c}}\right)=(1,0),}$ czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi ${\displaystyle u^{0}=1}$ (bo ${\displaystyle \gamma (0)=1}$). Oznacza to, że:

Cząstka porusza się w czasoprzestrzeni (wzdłuż linii prostej, równoległej do osi czasowej), mimo że spoczywa w przestrzeni. W czasoprzestrzeni nie istnieje stan spoczynku.

Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).

Uzasadnienie:

Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego ${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})}$ punktów krzywej od parametru, np. od interwału ${\displaystyle s,}$ czyli

${\displaystyle x^{\mu }(s)=[x^{0}(s),x^{1}(s),x^{2}(s),x^{3}(s)].}$

Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli

${\displaystyle {\vec {u}}_{styczny}={\frac {dx^{\mu }(s)}{ds}}=\left[{\frac {dx^{0}(s)}{ds}},{\frac {dx^{1}(s)}{ds}},{\frac {dx^{2}(s)}{ds}},{\frac {dx^{3}(s)}{ds}}\right].}$

Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem ${\displaystyle u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{ds}},}$ nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości ${\displaystyle u^{\mu }}$ ciała przez ${\displaystyle m_{0}c}$

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}cu^{\mu },}$

gdzie: ${\displaystyle m_{0}}$ – masa spoczynkowa cząstki. Wykorzystując wzór ${\displaystyle u^{\mu }=(\gamma ,{\vec {v}}{\frac {\gamma }{c}})}$ otrzymamy

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}\gamma (c,{\vec {v}})}$

Korzystając z ogólnego wzoru na długość dowolnego 4-wektora, kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać

${\displaystyle ||\mathbf {p} ||^{2}=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }}$

Podstawiając ${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}\gamma (c,{\vec {v}}),}$ otrzymamy

${\displaystyle ||\mathbf {p} ||^{2}=m_{0}^{2}c^{2}.}$

Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą liczbą ${\displaystyle m_{0}c,}$ czyli niezależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.

Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższej definicji 4-pędu nie można zastosować do fotonów.

Energię całkowitą ciała i 3-wektor pędu ciała definiuje się następująco

${\displaystyle E=m_{0}\gamma c^{2},}$

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{0}\gamma {\vec {v}}.}$

Podstawiając powyższe wielkości do definicji 4-wektora pędu otrzyma się równoważną postać

${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right).}$

Składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki – dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu:

a) współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

${\displaystyle p^{0}=m_{0}c\gamma ={\frac {m_{r}c^{2}}{c}}={\frac {E}{c}}}$

b) współrzędne przestrzenne są składowymi 3-wektora pędu cząstki

${\displaystyle p^{i}=m_{0}cu^{i}=m_{0}cv^{i}{\frac {\gamma }{c}}=m_{0}\gamma v^{i},}$

gdzie: ${\displaystyle m_{r}=m_{0}\gamma }$ – tzw. masa relatywistyczna cząstki.

Uwaga: 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.

Obliczając długość 4-wektora pędu zapisanego w postaci ${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}$ i porównując otrzymaną wielkość z wyrażeniem ${\displaystyle ||\mathbf {p} ||^{2}=m_{0}^{2}c^{2},}$ otrzyma się zależność

${\displaystyle \left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}c^{2},}$

czyli

${\displaystyle E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}.}$

Powyższe wzór na energię relatywistyczną cząstki stanowi podstawę do konstrukcji równań mechaniki kwantowej relatywistycznie niezmienniczych – równania Kleina-Gordona (opisującego cząstki bez spinu) i równania Diraca (opisującego elektrony, pozytony i inne fermiony o spinie 1/2).

Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:

${\displaystyle K^{\mu }={\frac {dp^{\mu }}{ds}}}$

lub równoważnie – korzystając ze wzoru ${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}$

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {dE/c}{ds}},{\frac {d{\vec {p}}}{ds}}\right).}$

Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać

${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {d{\vec {p}}}{ds}}.}$

Powyższy wzór można przekształcić, wprowadzając 3-wektor siły w postaci

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$

– identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem ${\displaystyle {\vec {p}}=m\gamma {\vec {v}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle ds=c\,dt{\frac {1}{\gamma }},}$ to ${\displaystyle {\vec {K}}}$ przyjmie postać

${\displaystyle {\vec {K}}={\vec {F}}{\frac {\gamma }{c}}.}$

Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do 3-wektora siły.

Różniczkujemy wyrażenie na długość 4-wektora prędkości po interwale czasoprzestrzennym

${\displaystyle 1=\eta _{\mu \nu }u^{\nu }u^{\mu },}$

co daje

${\displaystyle 0=\eta _{\mu \nu }{\frac {du^{\nu }}{ds}}u^{\mu }+\eta _{\mu \nu }u^{\nu }{\frac {du^{\mu }}{ds}}.}$

Korzystając z faktu, że tensor metryczny ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ jest symetryczny, otrzyma się

${\displaystyle 0=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }{\frac {du^{\nu }}{ds}}.}$

Mnożąc powyższe wyrażenie przez ${\displaystyle m_{0}c}$ i podstawiając ${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}cu^{\mu },}$ otrzyma się

${\displaystyle 0=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {dp^{\nu }}{ds}}.}$

Korzystając z definicji czterowektora siły ${\displaystyle K^{\mu }={\frac {dp^{\mu }}{ds}},}$ otrzyma się

${\displaystyle 0=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }K^{\nu }}$

lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)

${\displaystyle 0=p_{\nu }K^{\nu },}$

czyli

${\displaystyle 0=p_{0}K^{0}+p_{i}K^{i}}$

(gdzie sumowanie przeprowadza się po ${\displaystyle i=1,2,3}$). Wyznaczając część czasową czterowektora siły, otrzyma się

${\displaystyle K^{0}=-p_{i}K^{i}=-{\frac {-p^{i}K^{i}}{p_{0}}}={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}\gamma /c}{E/c}}={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}}{E}}\gamma .}$

Wykorzystując otrzymane wzory na ${\displaystyle K^{0}}$ i ${\displaystyle {\vec {K}}={\vec {F}}{\frac {\gamma }{c}},}$ czterowektor siły zapiszemy w postaci

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}}{E}}\gamma ,{\vec {F}}{\frac {\gamma }{c}}\right).}$

Widać stąd, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.

(1) Czterowektor falowy – to czterowektor przypisany fali świetlnej lub fali materii poruszającej się w kierunku ${\displaystyle {\vec {k}}}$ (gdzie ${\displaystyle {\vec {k}}}$ – wektor falowy fali), o częstotliwości ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right).}$

(2) Kwadrat długości tego 4-wektora wynosi

${\displaystyle \|k^{\mu }\|^{2}=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-{\vec {k}}\cdot {\vec {k}}.}$

(3) Jeżeli rozważaną falą jest fala materii, to słuszne są zależności podane przez de Broglie’a pomiędzy częstotliwością fali i jej wektorem falowym, a energią cząstki i jej pędem

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}},}$

gdzie ${\displaystyle \hbar }$ – stała Plancka podzielona przez ${\displaystyle 2\pi .}$

Czterowektor ${\displaystyle k^{\mu }}$ wyrażony przez ${\displaystyle E,{\vec {p}}}$ przyjmie postać

${\displaystyle k^{\mu }={\frac {1}{\hbar }}\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}$

lub

${\displaystyle k^{\mu }={\frac {1}{\hbar }}p^{\mu }.}$

Korzystając ze wzoru na długość 4-wektora pędu, otrzymamy

${\displaystyle \|k^{\mu }\|^{2}=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-{\vec {k}}\cdot {\vec {k}}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2},}$

gdzie ${\displaystyle m_{0}}$ – masa cząstki.

Czterowektor gęstości prądu – to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku ${\displaystyle \rho ,}$ pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego ${\displaystyle {\vec {j}}}$)

${\displaystyle j^{\mu }=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right).}$

• czasoprzestrzeń Minkowskiego
• czas własny
• czterowektor gęstości prądu elektrycznego
• czterowektor pędu
• interwał czasoprzestrzenny
• wektor styczny
• współrzędne krzywoliniowe
• zdarzenie czasoprzestrzenne

W języku polskim:

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik).
• K Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.

W języku angielskim:

• WolfgangW. Rindler WolfgangW., Introduction to Special Relativity (2nd edn.), wyd. 2nd ed, Oxford [England]: Clarendon Press Oxford, 1991, ISBN 0-19-853952-5, OCLC 22490653 . Brak numerów stron w książce
• D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
• D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH, Veinhein 2008.