Dopełnienie zbioru – Wikipedia, wolna encyklopedia

Diagram Venna: jest dopełnieniem względem

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru[1][2][3][4]zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą[5].

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie zbiór zwany dalej przestrzenią[1][2][4][6], zbiorem uniwersalnym[4] lub uniwersum[4], oraz jego podzbiór Dopełnieniem zbioru nazywa się różnicę

oznaczaną zwykle symbolem [1][2][3][6] lub [2][4], a w starszych pozycjach także lub, jeśli jest znane, krótko (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie [6], jednak jeżeli jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to może oznaczać wtedy

  • Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
  • Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów można zapisać w postaci:

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego uniwersum prawdziwe są równości

Dla ustalonego i dowolnego zachodzi

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

a ich suma daje całe uniwersum,

co oznacza, że jest rozbiciem zbioru

Dla danych zachodzą prawa de Morgana[7]:

Dodatkowo

pociąga

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Dopełnieniem zbioru w zbiorze jest zbiór
  • Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
  • Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
  • Dopełnieniem zbioru w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od natomiast w przestrzeni jest to zbiór

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30].
  2. a b c d Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
  3. a b Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
  4. a b c d e Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.
  5. dopełnienie zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06].
  6. a b c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
  7. Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30].