Funkcja mierzalna – Wikipedia, wolna encyklopedia
Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue’a).
Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.
Definicja ta wydaje się prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane -algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się -algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.
Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrę borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Np. funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej[1].
Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.
Szczególne przypadki
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli oraz są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia to nazywa się je cięciem borelowskim.
- funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a to funkcja mierzalna gdzie oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś to σ-algebra borelowska liczb zespolonych Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
- Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne[2]. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero[1].
- Jeżeli funkcja jest -mierzalna, a funkcja jest -mierzalna, to ich złożenie jest -mierzalne[1][3], gdzie sformułowanie „funkcja -mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie -algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a we wstępie).
- (Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi[1][4]. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
- Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).
Funkcje niemierzalne
[edytuj | edytuj kod]Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.
- O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli jest pewną przestrzenią mierzalną, a jest zbiorem niemierzalnym, tj. to funkcja charakterystyczna zbioru jest niemierzalna (gdzie wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego jest zbiór niemierzalny
- Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie -algebry. Jeżeli jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to jest niemierzalna, jeśli wyposażyć w algebrę antydyskretną gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór który nie należy do
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- funkcja całkowalna
- funkcja klasy Baire’a
- przestrzenie liniowe funkcji mierzalnych: przestrzenie
- układ dynamiczny zachowujący miarę
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d Robert Strichartz: The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000. ISBN 0-7637-1497-6.
- ↑ Gerald B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
- ↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.
- ↑ H.L. Royden: Real Analysis. Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
- Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.