Przestrzenie ℓ p , {\displaystyle \ell _{p},} L p , {\displaystyle L_{p},} L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} – dla ustalonej liczby dodatniej p {\displaystyle p} – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych , odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg p {\displaystyle p} -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych , całkowalnych w p {\displaystyle p} -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie ). W przypadku p ⩾ 1 {\displaystyle p\geqslant 1} w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha . Przestrzenie ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} oraz L 2 {\displaystyle L_{2}} są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym . Przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} są szczególnymi przypadkami przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).}
Przestrzenie L p {\displaystyle L_{p}} znajdują zastosowanie w statystyce , ekonomii matematycznej i inżynierii.
Sfera jednostkowa w przestrzeni ℓ 3 / 2 2 {\displaystyle \ell _{3/2}^{2}} W przestrzeni K n , {\displaystyle K^{n},} gdzie K {\displaystyle K} jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar ) można, dla ustalonego p > 0 {\displaystyle p>0} rozważać funkcję
‖ ⋅ ‖ p : K n → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}\colon K^{n}\to [0,\infty )} daną wzorem
‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + … + | x n | p ) 1 p , x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) . {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\;\;x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).} Dla 1 ⩽ p < ∞ {\displaystyle 1\leqslant p<\infty } funkcja ta jest normą wraz z którą K n {\displaystyle K^{n}} jest n {\displaystyle n} -wymiarową przestrzenią Banacha , oznaczaną symbolem ℓ p n . {\displaystyle \ell _{p}^{n}.} W przypadku p = 2 {\displaystyle p=2} norma przestrzeni ℓ 2 n {\displaystyle \ell _{2}^{n}} jest normą euklidesową .
Osobny artykuł: Przestrzeń l1 . Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:
( x 1 , x 2 , … , x n , … ) + ( y 1 , y 2 , … , y n , … ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , … , x n + y n , … ) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots ),} λ ( x 1 , x 2 , … , x n , … ) = ( λ x 1 , λ x 2 , … , λ x n , … ) , {\displaystyle \lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n},\dots ),} gdzie λ {\displaystyle \lambda } jest skalarem.
Zbiór wszystkich ciągów liczbowych V {\displaystyle V} z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < ∞ {\displaystyle 0<p<\infty } zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych x = ( x n ) {\displaystyle x=(x_{n})} dla których
‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 ∞ | x i | p ) 1 p < ∞ {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty } tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni V . {\displaystyle V.}
Dopuszczając p = ∞ , {\displaystyle p=\infty ,} definiuje się
‖ x ‖ ∞ = sup { | x n | : n ∈ N } . {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup\{|x_{n}|:n\in \mathbb {N} \}.} Przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} to podprzestrzenie liniowe V {\displaystyle V} dla których
ℓ p = { x ∈ V : ‖ x ‖ p < ∞ } . {\displaystyle \ell _{p}=\{x\in V:\|x\|_{p}<\infty \}.} Powyższy wzór określa normę w ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} dla p ∈ [ 1 , ∞ ] . {\displaystyle p\in [1,\infty ].} Warunek trójkąta dla normy ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}} w przypadku p < ∞ {\displaystyle p<\infty } wynika z nierówności Minkowskiego :
( ∑ n = 1 ∞ [ | a n | + | b n | ] p ) 1 p ⩽ ( ∑ n = 1 ∞ | a n | p ) 1 p + ( ∑ n = 1 ∞ | b n | p ) 1 p , {\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}|a_{n}|+|b_{n}|{\big ]}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}},} gdzie ( a n ) , ( b n ) {\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})} są elementami ℓ p . {\displaystyle \ell _{p}.}
Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera :
∑ n = 1 ∞ | a n b n | ⩽ ( ∑ n = 1 ∞ | a n | p ) 1 p ( ∑ n = 1 ∞ | b n | q ) 1 q , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}},} gdzie ( a n ) ∈ ℓ p , {\displaystyle (a_{n})\in \ell _{p},} ( b n ) ∈ ℓ q , {\displaystyle (b_{n})\in \ell _{q},} 1 / p + 1 / q = 1 ; {\displaystyle 1/p+1/q=1;} umownie 1 / ∞ = 0. {\displaystyle 1/\infty =0.}
Norma w przestrzeniach ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} jest zupełna , a więc przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} są przestrzeniami Banacha .
Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ℓ p , p ∈ [ 1 , ∞ ) , {\displaystyle \ell _{p},\ p\in [1,\infty ),} gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ℓ ∞ . {\displaystyle \ell _{\infty }.} Ciąg o wyrazie ogólnym 1 / n {\displaystyle 1/n} nie należy do przestrzeni ℓ 1 , {\displaystyle \ell _{1},} jednak dla każdego p > 1 {\displaystyle p>1} należy on do przestrzeni ℓ p . {\displaystyle \ell _{p}.}
Przestrzenie ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} i ℓ ∞ {\displaystyle \ell _{\infty }} nie są refleksywne , natomiast w przypadku 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} są. Dla p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} przestrzeń sprzężona do ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓ q {\displaystyle \ell _{q}} gdzie 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} (konwencja: 1 / ∞ = 0 {\displaystyle 1/\infty =0} ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek ⟨ x , y ⟩ = ∑ n = 1 ∞ x n y n , x = ( x n ) n = 1 ∞ ∈ ℓ p , y = ( y n ) n = 1 ∞ ∈ ℓ q . {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},\;\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q}.} Przestrzeń ℓ ∞ {\displaystyle \ell _{\infty }} jest nieośrodkowa , podczas gdy dla p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} są ośrodkowe. Przestrzenie ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} są jednostajnie wypukłe dla 1 < p < ∞ . {\displaystyle 1<p<\infty .} Przestrzeń ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2. {\displaystyle p=2.} Niech p > 0 {\displaystyle p>0} będzie liczbą rzeczywistą oraz niech ( Ω , F , μ ) {\displaystyle (\Omega ,F,\mu )} będzie przestrzenią z miarą σ -skończoną . Niech L ( μ ) {\displaystyle L(\mu )} będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na Ω {\displaystyle \Omega } względem relacji równoważności danej warunkiem f ∼ g {\displaystyle f\sim g} wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { x ∈ Ω : f ( x ) ≠ g ( x ) } {\displaystyle \{x\in \Omega :f(x)\neq g(x)\}} jest μ {\displaystyle \mu } -miary zero . Zbiór
L p ( μ ) = { f ∈ L ( μ ) : ∫ Ω | f ( x ) | p μ ( d x ) < ∞ } {\displaystyle L_{p}(\mu )={\Bigg \{}f\in L(\mu ):\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)<\infty {\Bigg \}}} ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej .
Niech p ∈ [ 1 , ∞ ) . {\displaystyle p\in [1,\infty ).} Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór
‖ f ‖ L p ( μ ) = ( ∫ Ω | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 p {\displaystyle \|f\|_{L_{p}(\mu )}={\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x){\Bigg )}^{\tfrac {1}{p}}} definiuje normę przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Norma ta jest zupełna, a więc L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} jest przestrzenią Banacha. Gdy Ω {\displaystyle \Omega } jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem L p ( Ω ) {\displaystyle L_{p}(\Omega )} oznacza się przestrzeń L p ( μ ) , {\displaystyle L_{p}(\mu ),} gdzie μ {\displaystyle \mu } jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru Ω . {\displaystyle \Omega .}
Gdy miara μ {\displaystyle \mu } jest skończona, to zachodzą inkluzje L p ( μ ) ⊆ L q ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )\subseteq L_{q}(\mu )} o ile tylko p ⩾ q {\displaystyle p\geqslant q} (włączając przypadek p = ∞ , {\displaystyle p=\infty ,} zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy μ {\displaystyle \mu } jest nieskończona, tj. μ ( Ω ) = ∞ {\displaystyle \mu (\Omega )=\infty } powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego p ⩾ 1 {\displaystyle p\geqslant 1} funkcja
f ( x ) = 1 x 1 p ( ln 2 x + 1 ) ( x > 0 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\frac {1}{p}}(\ln ^{2}x+1)}}\;\;(x>0)} należy do L p ( 0 , ∞ ) , {\displaystyle L_{p}(0,\infty ),} ale nie należy do L r ( 0 , ∞ ) , {\displaystyle L_{r}(0,\infty ),} gdy r ≠ p . {\displaystyle r\neq p.}
Symbolem L ∞ ( μ ) {\displaystyle L_{\infty }(\mu )} oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że
ess sup x ∈ Ω | f ( x ) | := inf { sup { | f ( x ) | : x ∈ Ω ∖ A } : A ∈ A , μ ( A ) = 0 } < ∞ , {\displaystyle {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|:x\in \Omega \setminus A\}:A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,} z normą
‖ f ‖ = ess sup x ∈ Ω | f ( x ) | . {\displaystyle \|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.} W przypadku 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} nadal można mówić o przestrzeniach L p , {\displaystyle L_{p},} nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe ).
Dla liczb nieujemnych a , b {\displaystyle a,b} oraz liczby 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} znana jest następująca nierówność :
( a + b ) p ⩽ a p + b p , {\displaystyle (a+b)^{p}\leqslant a^{p}+b^{p},} z której wynika, że
Δ p ( f + g ) ⩽ Δ p ( f ) + Δ p ( g ) , {\displaystyle \Delta _{p}(f+g)\leqslant \Delta _{p}(f)+\Delta _{p}(g),} przy czym Δ p ( f ) = ∫ | f ( x ) | p μ ( d x ) . {\displaystyle \Delta _{p}(f)=\int |f(x)|^{p}\mu ({\mbox{d}}x).} Na mocy powyższego, wzór
d ( f , g ) = Δ p ( f − g ) {\displaystyle d(f,g)=\Delta _{p}(f-g)} określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Metryka ta jest zupełna . W szczególności, L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej , której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul
B r = { f ∈ L p ( μ ) : Δ p ( f ) < r } ( r > 0 ) . {\displaystyle B_{r}=\{f\in L_{p}(\mu ):\Delta _{p}(f)<r\}\;(r>0).} Dla każdej liczby r > 0 {\displaystyle r>0} zachodzi związek
B 1 = r − 1 p B r , {\displaystyle B_{1}=r^{-{\frac {1}{p}}}B_{r},} więc kula B 1 {\displaystyle B_{1}} jest ograniczona , tj. przestrzeń L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią . Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech Y {\displaystyle Y} będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B {\displaystyle {\mathcal {B}}} będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli T : L p ( μ ) → Y {\displaystyle T\colon L_{p}(\mu )\to Y} jest operatorem liniowym i ciągłym oraz W {\displaystyle W} jest elementem bazy B , {\displaystyle {\mathcal {B}},} to T − 1 ( W ) {\displaystyle T^{-1}(W)} jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem L p ( μ ) , {\displaystyle L_{p}(\mu ),} tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji T ( L p ( μ ) ) {\displaystyle T(L_{p}(\mu ))} zawiera się w każdym elemencie bazy B , {\displaystyle {\mathcal {B}},} tj. T {\displaystyle T} jest operatorem zerowym.
Dla przestrzeni L p ( μ ) ( 0 < p < 1 ) {\displaystyle L_{p}(\mu )(0<p<1)} istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego .
Nierówność Höldera: Niech 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} oraz niech p ′ = p / ( p − 1 ) . {\displaystyle p'=p/(p-1).} Wówczas dla f ∈ L p ( μ ) , {\displaystyle f\in L_{p}(\mu ),} g ∈ L p ′ ( μ ) {\displaystyle g\in L_{p'}(\mu )} spełniających warunek 0 < Δ p ′ ( g ) < ∞ {\displaystyle 0<\Delta _{p'}(g)<\infty } zachodzi oszacowanie
∫ Ω | f ( t ) g ( t ) | μ ( d t ) ⩽ ( ∫ Ω | f ( t ) | p μ ( d t ) ) 1 p ( ∫ Ω | g ( t ) | p ′ μ ( d t ) ) 1 p ′ . {\displaystyle \int \limits _{\Omega }|f(t)g(t)|\,\mu ({\mbox{d}}t)\leqslant {\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(t)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p}}{\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|g(t)|^{p'}\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p'}}.} Nierówność Minkowskiego: Dla 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} oraz f , g ∈ L p ( μ ) {\displaystyle f,g\in L_{p}(\mu )} zachodzi oszacowanie:
Δ p ( | f | + | g | ) 1 p ⩽ Δ p ( f ) 1 p + Δ p ( g ) 1 p . {\displaystyle \Delta _{p}(|f|+|g|)^{\frac {1}{p}}\leqslant \Delta _{p}(f)^{\frac {1}{p}}+\Delta _{p}(g)^{\frac {1}{p}}.}