Funkcja różnowartościowa – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/F-is-an-injection.svg/220px-F-is-an-injection.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Injective_composition2.svg/220px-Injective_composition2.svg.png)
Funkcja różnowartościowa, iniekcja[1] (injekcja), funkcja 1-1[potrzebny przypis] – funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz. Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów spełniony jest warunek[2]:
stosuje się także równoważną postać powyższej implikacji (powstałą przez kontrapozycję):
Innymi słowy[potrzebny przypis]:
- przeciwobraz singletonu ma co najwyżej jeden element;
- istnieje lewostronna funkcja odwrotna:
Termin iniekcja powstał najpóźniej w 1950 roku, kiedy to Saunders Mac Lane użył go w jednym z amerykańskich czasopism matematycznych[3].
- Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)
- Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)
- Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)
Przykłady i własności
[edytuj | edytuj kod]- numer PESEL – dwie osoby nie mogą mieć jednakowego;
- transliteracje to iniekcje między zbiorami ciągów (krotek) znaków. Niektóre transliteracje są też iniekcjami między zbiorami samych znaków[potrzebny przypis];
- pierwiastek dowolnego stopnia naturalnego;
- funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej; przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, przez co nie jest „na” przy takiej samej przeciwdziedzinie;
- funkcje kołowe;
- dowolna inna funkcja ściśle monotoniczna (ściśle rosnąca lub ściśle malejąca);
- macierze, w których każdy element jest inny; np. w standardowym sudoku (9×9) każdy z dziewięciu głównych kwadratów 3×3 jest iniekcją do zbioru cyfr dziesiętnych;
- negacja na zbiorze zdań oznajmujących danego języka;
- wszelkie bijekcje.
Wprost z definicji wynika, że iniekcja nie może być funkcją parzystą ani okresową, ponieważ własności te są zdefiniowane przez równość wartości dla różnych argumentów. Iniekcjami nie są również:
- wielomiany rzeczywiste stopnia parzystego, nawet jeśli nie są funkcjami parzystymi; np.
- funkcja Collatza – jest sumą mnogościową iniekcji na zbiorach liczb parzystych i nieparzystych, jednak dla argumentu parzystego i nieparzystego może przyjąć jednakową wartość. Przykładowo
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- monomorfizm
- twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – o konsekwencji istnienia pewnych iniekcji
- zasada szufladkowa Dirichleta – fakt nieistnienia pewnych iniekcji
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ surjekcja czy suriekcja? [online], Poradnia językowa PWN [dostęp 2017-11-23] (pol.).
- ↑ iniekcja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-16] .
- ↑
Jeff Miller, Injection, surjection and bijection, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-12-16].