Funkcja wzajemnie jednoznaczna – Wikipedia, wolna encyklopedia

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów
Diagram przemienny ilustrujący bijekcje jako funkcje odwracalne

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcjawzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie iniekcją i suriekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie:

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.:

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:XX). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki[2].

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Alfabet – ciąg liter danej ortografii, zawierający wszystkie z nich (suriektywność) i każdą dokładnie raz (iniektywność);
  • listy obecności – ciągi wszystkich osób z ustalonego zbioru;
  • zmiana systemu liczbowego – np. z dziesiętnego na rzymski lub binarny – to bijekcja między zbiorami napisów przedstawiających liczby;
  • logarytm w dziedzinie rzeczywistej;
  • dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.

Bijekcje działające wewnątrz ustalonego zbioru:

Przykłady zawiera też artykuł o inwolucjach.

Grupa bijekcji

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: grupa bijekcji.

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że:

W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postaci pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. bijekcja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-16].
  2. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller, Injection, surjection and bijection [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-12-16].