Linia środkowa – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Linia_srodkowa.svg/250px-Linia_srodkowa.svg.png)
Linia środkowa – odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta.
W każdym trójkącie istnieją trzy różne linie środkowe, każdej z nich odpowiada jeden bok trójkąta – ten, z którym środkowa jest rozłączna.
Linii środkowej nie należy mylić ze środkową trójkąta.
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]- Linia środkowa jest równoległa do odpowiadającego jej boku. Jej długość jest dwukrotnie mniejsza od długości tego boku.
Dowód (wektorowy)
[edytuj | edytuj kod]Zgodnie z oznaczeniami rysunku
co oznacza, że odcinek DE jest równoległy do odcinka AB i ma dwukrotnie mniejszą długość.
Dowód (geometryczny)
[edytuj | edytuj kod]Ponieważ
więc spełnione są założenia odwrotnego twierdzenia Talesa. Stąd
To z kolei oznacza, że oraz Wystarczy teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ABC i DEC.
Dowód (geometryczny) 2
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Linia_%C5%9Brodkowa2.svg/210px-Linia_%C5%9Brodkowa2.svg.png)
Niech punkty D, E będą środkami boków odpowiednio AC i BC. Odcinek DE jest więc linią środkową.
Poprowadźmy z punktu D prostą równoległą do boku AB przecinającą bok BC w punkcie E′. Następnie poprowadźmy z punktu E′ prostą równoległą do boku AC przecinającą bok AB w punkcie F′. Ponieważ czworokąt AF′E′D jest równoległobokiem więc
oraz
Powyższe równości oznaczają, że trójkąty DE′C oraz F′BE′ są przystające (cecha „KBK”), stąd m.in.
Punkt E′ jest więc środkiem odcinka BC. Ponieważ każdy odcinek ma dokładnie jeden środek więc E=E′. Linia środkowa DE będąca bokiem równoległoboku AF′E′D jest zatem równoległa do boku AB.
Ponadto ponieważ
Więc F′ jest środkiem boku AB, czyli
Linia środkowa w trapezie
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Linia_srodkowa_trapez.svg/220px-Linia_srodkowa_trapez.svg.png)
Pojęcie linii środkowej stosuje się także w trapezach. W tym przypadku jest to odcinek łączący środki ramion trapezu.
Zachodzi nieco ogólniejszy odpowiednik twierdzenia o linii środkowej trójkąta:
- Linia środkowa w trapezie jest równoległa do (obu) podstaw trapezu, a jej długość jest średnią arytmetyczną ich długości.