Trapez – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Trapezoid.svg/220px-Trapezoid.svg.png)
Trapez – czworokąt z przynajmniej jedną parą równoległych boków[1]. Czasem zakłada się dokładnie jedną taką parę, co oznacza, że równoległobok nie jest trapezem[2][1].
Boki równoległe nazywa się podstawami, pozostałe ramionami, a odcinek łączący podstawy i prostopadły do nich – oraz jego długość, czyli odległość między podstawami – wysokością trapezu[1]. Wszystkie trapezy są wypukłe[potrzebny przypis].
Własności
[edytuj | edytuj kod]Kąty
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnego trapezu suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu jest równa 180°[1]. Jest tak, ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw – zob. kąty wyznaczane przez proste; kąty przy tym samym ramieniu to para kątów jednostronnych wewnętrznych.
Przekątne
[edytuj | edytuj kod]Jeśli oznacza punkt przecięcia przekątnych, to[potrzebny przypis]:
- trójkąty i mają równe pola[a];
- trójkąty i są podobne, co wynika wprost z twierdzenia Talesa.
Jest to iloczyn wysokości i średniej arytmetycznej długości podstaw – połowy ich sumy[1][3]:
gdzie to długości podstaw, a to jego wysokość.
Inny wzór na pole powierzchni trapezu zawiera długości wszystkich boków (podstaw i ramion)[potrzebny przypis]:
gdzie to długości podstaw, – długości ramion[b].
Przypadki szczególne
[edytuj | edytuj kod]Trapez równoramienny
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Trapezoid_isosceles.svg/220px-Trapezoid_isosceles.svg.png)
Trapez o ramionach równej długości[1]. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.
Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem[potrzebny przypis]
gdzie oznacza długość przekątnej trapezu (obie mają równą długość), a to kąt między przekątnymi trapezu.
Trapez prostokątny
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Trapezoid_right-angled.svg/220px-Trapezoid_right-angled.svg.png)
Trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90°[1]. Ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt – ma on cztery kąty wewnętrzne proste.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Dowód: Trójkąty i mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty i powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta
- ↑ Dla wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d e f g trapez, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29] .
- ↑ Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
- ↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-28]:
- Paweł Dziuba, Trapez i jego własności;
- Bogdan Staruch, Odcinek łączący środki ramion trapezu;
- Tomasz Paszek, Pole trapezu.
Dowody wzoru na pole trapezu, zadania.info [dostęp 2024-05-28].