Model Debye’a ciała stałego – Wikipedia, wolna encyklopedia

Model Debye’a – model fizyczny ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debye’a w 1912 r., pozwalający wyznaczyć teoretycznie zależność ciepła właściwego ciał stałych od temperatury. Model ten zakłada, że w ciele stałym powstają fale, będące wynikiem drgań sieci krystalicznej ciała stałego (ogólnie fizyka tłumaczy powstawanie fal w ośrodkach materialnych jako wynik drgań cząsteczek tego ośrodka). Przy tym model zakłada, że istnieje minimalna długość propagujących się fal ${\displaystyle \lambda _{D}}$ równa stałej sieci krystalicznej (i odpowiadająca jej maksymalna częstości ${\displaystyle \omega _{D}}$), gdyż fale o długościach mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, punktowych ciał połączonych sprężynami wykonujących drgania swobodne. Oznacza to, że w ciele stałym o ${\displaystyle N}$ atomach liczba drgań własnych sieci jest równa ${\displaystyle 3N,}$ a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej^[1] (częstości Debye’a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele^[2].

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem harmonicznych oscylatorów kwantowych. W modelu Debye’a rozkład liczby oscylatorów w zależności od częstości dany jest przez zależność:

${\displaystyle g(\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{0}^{3}}}\omega ^{2}&\omega \leqslant \omega _{D}\\0&\omega >\omega _{D}\end{matrix}}\right.,}$

gdzie:

${\displaystyle \omega _{D}=v_{0}\left(6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{\frac {1}{3}}}$ częstość Debye’a,

${\displaystyle V}$ – objętość ciała,

${\displaystyle N}$ – liczba atomów w ciele,

${\displaystyle v_{0}}$ – uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.

Energię wewnętrzną ciała stałego określa wzór:

${\displaystyle U=\int \limits _{0}^{\omega _{D}}{g(\omega )}{\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\;d{\omega }\,\,\,}$ (dla każdej polaryzacji),

gdzie:

• ${\displaystyle k}$ – stała Boltzmanna,
• ${\displaystyle \hbar }$ – stała Plancka podzielona przez ${\displaystyle 2\pi ,}$
• ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\,\,\,}$ - rozkład Plancka

a ciepło właściwe:

${\displaystyle c_{V}={\frac {1}{N}}{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{N,V},}$

więc:

${\displaystyle c_{V}=9k\left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{\frac {T_{D}}{T}}{\frac {x^{4}e^{x}}{{(e^{x}-1)}^{2}}}\;dx,}$

gdzie: ${\displaystyle T_{D}={\frac {\hbar \omega _{D}}{k}}}$ temperatura Debye’a.

Jeżeli ${\displaystyle T\gg T_{D}}$   to:   ${\displaystyle c_{V}\approx 3k\cdot N_{A}=3R\quad {}}$ (prawo Dulonga-Petita),

gdzie:

${\displaystyle R}$ – stała gazowa,

${\displaystyle N_{A}}$ – stała Avogadra.

Jeżeli ${\displaystyle T\ll T_{D}}$   to:   ${\displaystyle c_{V}\approx {\frac {12}{5}}\pi ^{4}R\cdot \left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}}$

czyli

${\displaystyle c_{V}\thicksim {T}^{3}}$ (prawo Debye’a)

Temperatury Debaye’a dla wybranych substancji:

• ciepło właściwe