Twierdzenie Vitalego o zbieżności – Wikipedia, wolna encyklopedia
Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a oraz niech gdzie Wówczas według -tej średniej (tj. w ) wtedy i tylko wtedy, gdy
- (i) zbiega według miary do
- (ii) rodzina funkcji jest jednakowo całkowalna,
- tzn. dla dowolnej liczby istnieje taka że dla wszystkich zbiorów mierzalnych takich, że zachodzi dla wszystkich
- (iii) rodzina funkcji jest ciasna,
- tzn. dla dowolnej liczby istnieje zbiór mierzalny taki, że oraz dla wszystkich
Uwaga. Jeśli miara jest skończona to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii)[1].
Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja że to rodzina jest jednakowo całkowalna i ciasna.
Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że zbiega punktowo do
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ G.B. Folland , Real analysis. Modern techniques and their applications, wyd. 2nd ed, New York: Wiley, 1999, ISBN 0-471-31716-0, OCLC 39849337 .