Zbiór nigdziegęsty – Wikipedia, wolna encyklopedia

Zbiór przestrzeni nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Zbiór jest nigdziegęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym można znaleźć niepusty podzbiór otwarty rozłączny z (tj. ).

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów tworzy właściwy ideał podzbiorów tzn.
jeśli to oraz
jeśli i to oraz
  • Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
  • Jeśli i jest nigdziegęsty w (tzn. gdy jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to
  • Załóżmy, że oraz albo jest gęstym podzbiorem lub jest otwarty w Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
  • Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ).
  • Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku odcinków długości

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

s0-zbiory

[edytuj | edytuj kod]

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie -zbiorów.

Powiemy, że podzbiór prostej rzeczywistej jest -zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z

Zbiory tworzą -ideał podzbiorów

Zbiory A-nigdziegęste

[edytuj | edytuj kod]

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni Powiemy, że zbiór jest -nigdziegęsty jeśli każdy element zawiera podzbiór rozłączny z

Jeśli jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory Jeżeli jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś to otrzymujemy z kolei -zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]