Zbiór rzutowy – Wikipedia, wolna encyklopedia

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina^[1][2][3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego^[4].

Niech ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ dla każdej przestrzeni polskiej ${\displaystyle X}$ definiujemy klasy Łuzina ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}(X)}$ i klasy dualne ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}(X)}$

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla pewnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq X\times {\mathcal {N}}}$ mamy ${\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},}$
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1}(X),}$
• ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla pewnego ${\displaystyle B\in \Pi _{n}^{1}(X\times {\mathcal {N}})}$ mamy ${\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},}$
• ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{n+1}^{1}(X).}$

Definiujemy również ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}(X)\cap \Pi _{n}^{1}(X).}$

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1},\Pi _{n}^{1},\Delta _{n}^{1}}$ (zamiast ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}(X),\Pi _{n}^{1}(X),\Delta _{n}^{1}(X)}$). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

• elementy klasy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
• klasy ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ i ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$ oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa Moschovakisa^[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „${\displaystyle \subseteq }$” jest reprezentowane przez strzałkę „${\displaystyle \longrightarrow }$”):

${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$

${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$

${\displaystyle \Delta _{3}^{1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$

${\displaystyle \Delta _{n+1}^{1}}$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$

${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$

${\displaystyle \ldots }$

• ${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X.}$
• Każda klasa Łuzina ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$^[7].
• Każda klasa ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$ jest σ-ciałem zbiorów.
• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią polską, ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest funkcją ciągłą oraz ${\displaystyle A\in \Sigma _{n}^{1}(X),}$ to ${\displaystyle f(A)\in \Sigma _{n}^{1}(Y).}$
• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią polską, ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest funkcją ciągłą oraz ${\displaystyle B\in \Sigma _{n}^{1}(Y)}$ ${\displaystyle (B\in \Pi _{n}^{1}(Y)),}$ to także ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{n}^{1}(Y)}$ ${\displaystyle (f^{-1}(B)\in \Pi _{n}^{1}(Y)).}$
• Wszystkie zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\cup \Pi _{1}^{1}}$ mają własność Baire’a.
• Wszystkie zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}({\mathbb {R} })\cup \Pi _{1}^{1}({\mathbb {R} })}$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
• Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}\cup \Pi _{2}^{1}}$ są mierzalne i mają własność Baire’a.
• Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to

(a) istnieje ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,

(b) istnieje ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a,

(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a^[8].
• Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy ${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}}$ implikuje, że ${\displaystyle \omega _{1}}$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)^[9].
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}({\mathcal {N}})}$ są zdeterminowane^[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane^[11][12].

• opisowa teoria mnogości
• teoria mnogości
• zbiór analityczny
• zbiór borelowski