Axiomas de probabilidade – Wikipédia, a enciclopédia livre
Esta página ou se(c)ção precisa ser formatada para o padrão wiki. (Fevereiro de 2014) |
Teoria das probabilidades |
---|
![]() |
Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de , chamado de -álgebra (pronuncia-se sigma-álgebra ou campo de Borel), denotado por , se satisfaz às propriedades:
- ∈ (o conjunto vazio é um elemento de );
- Se ∈ ;
- Se A1, A2, ... ∈ .[1].
Na teoria da probabilidade de Kolmogorov, a probabilidade de algum evento , denotado por , geralmente é definida tal que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo Andrey Kolmogorov, que são descritos abaixo.[2]
Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, F, P) um espaço de medida intervalo com P (Ω) = 1. Então (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade, com espaço amostral Ω, espaço de evento F e medida de probabilidade P. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo Teorema de Cox.
Axiomas
[editar | editar código-fonte]Primeiro axioma
[editar | editar código-fonte]A probabilidade de um evento é um número real não negativo:
Onde é o espaço de evento (-álgebra). Em particular, é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.
Segundo axioma
[editar | editar código-fonte]Este é o pressuposto da unidade de medida: é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.
Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.
Terceiro axioma
[editar | editar código-fonte]Este é o pressuposto de σ-aditividade:
Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos) satisfaz
Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na distribuição de quasiprobabilidade, em geral, o terceiro axioma é expandido, permitindo que a função de probabilidade assuma valores negativos.[3]
Consequências
[editar | editar código-fonte]A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.
Monotonia
[editar | editar código-fonte]A probabilidade do conjunto vazio
[editar | editar código-fonte]O limite numérico
[editar | editar código-fonte]Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:
Provas
[editar | editar código-fonte]As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas consequências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: and ,Quando for . É fácil de ver que os conjuntos .São disjuntos dois a dois e . Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:
Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:
- o qual é finito, obtêm-se ambos e .
A segunda parte da declaração é visto por contradição se: em seguida o lado esquerdo não é inferior a:
Se obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse que é finito. Assim, . Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que .
Mais consequências
[editar | editar código-fonte]Outra propriedade importante é:
Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vão acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão.
Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.
Exemplo simples: moeda-lance
[editar | editar código-fonte]Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir:
Axiomas de Kolmogorov implicam que:
A probabilidade de cara ou coroa é 1.
A probabilidade de cara mais coroa é 1.
A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Lei da probabilidade total
- Medida (matemática)
- σ-álgebra
- Teoria da Probabilidade
- Probabilidade condicional
Referências
- ↑ Probability Theory por Faming Liang publicado pelo "Department of Statistics, Texas A&M University"
- ↑ FOUNDATIONS. OF THE. THEORY OF PROBABILITY por A.N. KOLMOGOROV. publicado por "CHELSEA PUBLISHING" Segunda English Edição (1956)
- ↑ «quantum mechanics - What is a quasi-probability distribution?». Physics Stack Exchange (em inglês). Consultado em 3 de fevereiro de 2023
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Von Plato, Jan, 2005 ", der Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung" em Grattan-Guinness, I., ed Escritos marco na Matemática ocidentais.. Elsevier: 960-69. (em inglês)
- Glenn Shafer; Vladimir Vovk. «As origens e o legado de Kolmogorov de Grundbegriffe» (PDF)
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- # KolProCal Kolmogorov `s cálculo de probabilidades, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- # M2 Definição formalde probabilidade no sistema de Mizar, e a lista de teoremas formalmente provado sobre isso.