Lei da probabilidade total – Wikipédia, a enciclopédia livre
Teoria das probabilidades |
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Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.
Expressão Formal
[editar | editar código-fonte]A lei da probabilidade total[1] é a proposição de que se é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:
ou, alternativamente,[1]
onde, para qualquer para que estes termos são omitidos na soma, pois é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).[2]
A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo acima, e assumindo que é um evento independente com qualquer dos eventos de :
Expressão Informal
[editar | editar código-fonte]A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado , com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de , cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que vai acontecer?". A resposta para esta questão é .
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5 000 horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:
,
onde
- é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
- é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
- é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h
- é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h
Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.
Aplicações
[editar | editar código-fonte]Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, é o evento . Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado . Isto é,
em que é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo . Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis aleatórias contínuas, e a expressão se torna
onde denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.
Outros Nomes
[editar | editar código-fonte]O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo.[3] Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh[4] como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Lei da expectativa total (Law of total expectation)
- Lei da variância total (Law of total variance)
- Lei da acumulação total (Law of total cumulance)
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ a b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 page 31.
- ↑ Paul E. Pfeiffer (1978). Concepts of probability theory. [S.l.]: Courier Dover Publications. pp. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1
- ↑ Kenneth Baclawski (2008). Introduction to probability with R. [S.l.]: CRC Press. p. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3
- ↑ Probability: An Introduction, by Geoffrey Grimmett and Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.
- Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
- Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
- Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116.
- A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
- An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.