Corpo formalmente real – Wikipédia, a enciclopédia livre
Corpo formalmente real, em álgebra abstrata, é um corpo que tem, em comum com os números reais, as propriedades que dizem que não existe a raiz quadrada de menos um, e que a soma de quadrados não pode ser igual a menos um.
Formalmente, é um corpo formalmente real se:[1]
- é um corpo
Um corpo formalmente real também pode ser chamado, simplesmente, de corpo real,[1] quando não houver possibilidade de confusão com o corpo dos números reais.[carece de fontes]
Todo corpo ordenado é um corpo formalmente real,[Nota 1] propriedade que pode ser facilmente demonstrada pois todo quadrado é positivo, toda soma de números positivos é positiva, e menos um não é positivo. A recíproca, segundo um teorema demostrado por Artin e Schreier, também é verdadeira, ou, mais formalmente:[1]
- Seja K um corpo formalmente real. Então é possível dotar K de uma relação de ordem ≤, que faz de (K, ≤) um corpo ordenado.
A prova se baseia no Lema de Zorn:[1] define-se o conceito de um cone prepositivo como sendo um subconjunto do corpo que não tem o elemento menos um, é fechado por adição e multiplicação e tal que todos quadrados pertencem a ele. Pelo Lema de Zorn, existe um cone prepositivo maximal, e demonstra-se que este pode ser usado para definir o subconjunto dos números positivos, que define a relação de ordem.[2]
Um caso particular de corpo formalmente real é um corpo real fechado: R é um corpo real fechado quando R é um corpo formalmente real e, para toda extensão algébrica E de R, se E também é um corpo formalmente real, então E = R.[1][3] Em um corpo real fechado, todo polinômio de grau ímpar tem raiz e todo número positivo tem raiz quadrada.[1]
Notas e referências
Notas
- ↑ A rigor, as duas estruturas algébricas são distintas, pois um corpo ordenado é mais rico que um corpo formalmente real, pois no primeiro caso temos duas operações binárias e uma relação (de ordem), e no segundo caso apenas as duas operações.
Referências
- ↑ a b c d e f Silvio Levy, 20. Ordered fields and Real fields [https://web.archive.org/web/20080905022120/http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/20.pdf Arquivado em 5 de setembro de 2008, no Wayback Machine. [em linha]]
- ↑ Alexander Prestel, Lectures on Formally Real Fields, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (1976) [visualização parcial]
- ↑ Don Monk, Math 6000, Model Theory, Notes on real-closed fields [https://web.archive.org/web/20160303193151/http://euclid.colorado.edu/~monkd/m6000/real.pdf Arquivado em 3 de março de 2016, no Wayback Machine. [em linha]]