Lei das tangentes – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Em trigonometria, a lei das tangentes[1] estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.[2]

Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

Demonstração

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Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Referências

  1. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
  2. Fatos matemáticos, acessada em 09-07-2011.

Ligações externas

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