Cálculo |
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Cálculo integral Definições Integração por |
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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.
Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria
É fácil de perceber, que as funções
e
podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por
Resultando em:
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:
para
, sendo a uma constante positiva.
para
, com a > 0
para
, sendo a maior do que zero, constante.
Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.
,
Considere a integral
usando a substituição
, obtêm-se
A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes
Voltando a equação original
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo
para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a
igual a
, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo
valerá
. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
O ângulo
pode ser expresso como
Obtendo assim como resposta final: