Teorema do gradiente – Wikipédia, a enciclopédia livre
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O teorema do gradiente, também conhecido como teorema fundamental do cálculo, para integrais de linha, diz que a integral de linha através do campo gradiente pode ser estimada calculando-se o campo escalar original nos pontos finais da curva.
Dado φ : U ⊆ ℝn → ℝ e γ é qualquer curva de p para q. Então,
Isso é uma generalização do teorema fundamental do cálculo para qualquer curva no plano ou no espaço (geralmente n-dimensões).
Implica ao teorema do gradiente que as integrais de linha através dos campos de gradiente são independentes do caminho. Na física, esse teorema é uma das maneiras de definir a força conservativa. Ao colocar φ como um potencial, ∇φ é um campo conservativo. O trabalho realizado pelas forças conservativas não dependem do caminho seguido pelo objeto, depende somente dos pontos finais, como mostra a equação acima.
O teorema do gradiente também possui uma afirmação interessante: qualquer campo vetorial independente do caminho pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. Assim como o próprio teorema do gradiente, essa consideração tem muitas consequências e aplicações marcantes na matemática pura e na matemática aplicada.
Prova
[editar | editar código-fonte]Se φ é uma função diferenciável de algum subconjunto aberto U (de ℝn) para ℝ, e se r é uma função diferenciável em algum intervalo fechado [a, b] para U, então, pela regra da cadeia, a função composta φ ∘ r é diferenciável em (a, b) e
para todo t em (a, b). Aqui o ⋅ é usual para denotar o produto interno.
Agora, supõem-se que o domínio U de φ contenha a curva diferencial γ com pontos finais p e q, respectivamente (orientados na direção de p para q). Se r parametriza γ para t em [a, b], então a equação acima mostra que [1]
onde a definição de integral de linha é usada na primeira igualdade e o teorema fundamental do cálculo na terceira igualdade.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]Exemplo 1
[editar | editar código-fonte]Suponha γ ⊂ ℝ2 é o arco circular orientado no sentido anti-horário conforme: (5, 0) para (−4, 3). Usando a definição da integral de linha,
Observa-se todos os cálculos meticulosos envolvidos no cálculo direto da integral. Em vez de executar esse procedimento, considerando que a função f(x, y) = xy é diferenciável em todo o ℝ2, pode-se simplificar, usando o teorema do gradiente para dizer que,
Nota-se que para qualquer método adotado o resultado será o mesmo. Porém, utilizando o último procedimento, todo o trabalho já é realizado na prova do teorema do gradiente.
Exemplo 2
[editar | editar código-fonte]Num exemplo mais abstrato, suponha γ ⊂ ℝn tendo p, q como pontos finais, com orientação de p para q. Para u no ℝn, |u| denota a norma Euclidiana de u. Se α ≥ 1 é um número real, então
Aqui a igualdade final segue o teorema do gradiente, já que a função f(x) = |x|^α+1 é diferenciável em ℝn se α ≥ 1.
Se α < 1 então essa equivalência de manterá na maioria dos casos, devendo-se tomar cuidado se γ transpôr ou cercar a origem, porque o campo vetorial da integral (|x|^α-1)*x não está definido ali. No entanto, o caso α = −1 é um pouco diferente; pois o integrando se torna (|x|^-2)*x = ∇(log|x|), para que a igualdade final se torne log |q| - log |p|.
Exemplo 3
[editar | editar código-fonte]Supomos que existam n cargas pontuais dispostas num espaço tridimensional e a ni carga pontual tem carga Qi e está localizada na posição pi no ℝ3. Quer-se calcular o trabalho realizado na partícula de carga q enquanto ela viaja de um ponto a para outro ponto b no ℝ3. Usando a Lei de Coulomb, pode-se facilmente determinar que a força na partícula na posição r será
Aqui |u| denota a norma Euclidiana do vetor u no ℝ3, e k = 1/(4πε0), onde ε0 é a permissividade do vácuo.
Tomando γ ⊂ ℝ3 − {p1, ..., pn} por uma curva arbitrável diferenciável de a para b, então o trabalho feito na partícula é:
Agora, para cada i, o cálculo direto mostra que
Assim, continuando os passos acima e usando o teorema do gradiente,
chega-se a essa conclusão final. Poderíamos ter completado facilmente esse cálculo usando o potencial eletrostático ou a energia potencial eletrostática (com as recorrentes fórmulas W = −ΔU = −qΔV). No entanto, ainda não se definiu o potencial de energia, porque a afirmação do teorema do gradiente é necessária para provar que essas funções são bem definidas e diferenciáveis e que essas fórmulas são válidas. Portanto, resolvemos este problema utilizando apenas a Lei de Coulomb, a definição de trabalho e o teorema do gradiente.
Afirmação do Teorema do Gradiente
[editar | editar código-fonte]O teorema do gradiente afirma que se campo vetorial F é o gradiente de alguma função com valor escalar (i.e., e se F for conservativo), então F é um campo vetorial independente do caminho (i.e., a integral de F ao longo de uma curva diferenciada por partes é dependente apenas dos pontos finais).
Este teorema tem uma forte afirmação:
Se F é um campo vetorial independente de caminho, então F é o gradiente de alguma função com valor escalar.[2]
É simples mostrar que um campo vetorial é independente do caminho se, e somente se, a integral do campo vetorial sobre cada laço fechado em seu domínio for zero. Portanto, a afirmação pode, como uma alternativa, ser declarada da seguinte forma: Se a integral de F sobre cada circuito fechado no domínio da F for zero, então Fé o gradiente de alguma função com valor escalar.
Exemplo do princípio da afirmação
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Para ilustrar a importância desse princípio, citamos um exemplo que possui em si consequências físicas significativas. No eletromagnetismo clássico, a força elétrica é uma força independente do caminho; i.e. o trabalho realizado por uma partícula que retornou à sua posição original dentro de um campo elétrico, é zero (assumindo que nenhum campo magnético variável está presente).
Portanto, o teorema acima implica que o campo de força elétrica Fe : S → ℝ3 é conservativo (onde S é um subconjunto aberto de caminho, conectado com ℝ3 , que contém uma distribuição de carga). Seguindo as considerações acima, pode-se definir algum ponto de referência a no S e definir a função Ue: S → ℝ por:
Usando a sentença acima como prova, sabe-se que Ue está bem definida e é diferenciável e Fe = −∇Ue (a partir dessa fórmula pode-se fazer uso do teorema do gradiente para, facilmente, derivar a fórmula, já conhecida, para o cálculo do trabalho realizado por forças conservativas: W = −ΔU). Muitas vezes a função Ue é referenciada como a energia potencial eletrostática do sistema de cargas em S (com referência ao potencial zero a). Em muitos casos, presume-se que o domínio S é ilimitado e o ponto de referência a é tomado como "infinito", o que pode ser feito com rigor, usando técnicas limitantes. A função Ue é indispensável para a análise de muitos sistemas físicos.
Generalizações
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Muitos dos teoremas de cálculo vetorial generalizam declarações sobre a integração de formas diferenciais. Na linguagem das formas diferenciais e derivadas externas, o teorema do gradiente afirma que
para qualquer forma diferencial, ϕ, definido em alguma curva diferenciável γ ⊂ ℝn (aqui a integral de ϕ além do limite de γ entende-se como sendo a estimativa de ϕ nos pontos finais de γ).
Observa-se a semelhança entre a afirmação antes feita e a versão generalizada do Teorema de Stokes, no qual diz que a integral de qualquer forma diferenciável ω sobre o limite de várias orientações Ω é igual à integral da sua derivada exterior dω sobre todo Ω, i.e.,
Essa declaração é uma generalização do teorema do gradiente de formas 1, definidas em variedades unidimensionais para formas diferenciais determinadas para várias dimensões arbitrárias.
As considerações a respeito da inversa do teorema de gradiente possui uma grande generalização em termos de formas diferenciais variadas. Em particular, supõem-se que ω é uma forma definida em um domínio contraível e a integral de ω sobre qualquer domínio fechado é zero. Então, existe uma fórmula ψ tal que ω = dψ. Assim, num domínio contratual toda forma fechada é igual a zero. Esse resultado é definido pelo teorema de Poincaré Lemma.