Prova de que e é irracional – Wikipédia, a enciclopédia livre

O número e foi introduzido por Jacob Bernoulli em 1683. Após mais de um século, Euler, que fora um estudante de Johann, irmão mais novo de Jacob Johann, provou que e é irracional; isto significa que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros.

Prova de Euler

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Euler escreveu sua primeira prova do fato de que e é irracional em 1737 (mas o texto foi publicado apenas sete anos depois).[1][2][3] Ele computou a representação de e como uma fração contínua simples, que é

Como esta fração contínua é infinita e todo número racional tem uma fração contínua finita, e é irracional. Existe uma prova breve da igualdade anterior conhecida.[4][5] Já que a fração contínua simples de e não é periódica, isso também prova que e não é uma raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais; em particular, e2 é irracional.

Prova de Fourier

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A prova mais conhecida é a prova por contradição de Joseph Fourier,[6] que se baseia na igualdade

Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma ab. A ideia é analisar a diferença ampliada (aqui denotada como x) entre a representação em série de e e sua b-ésima soma parcial estritamente menor, que aproxima o valor limite de e. Escolhendo o fator de escala como o fatorial de b, a fração ab e a soma parcial b tornam-se números inteiros, portanto x deve ser um número inteiro positivo. No entanto, a rápida convergência da representação em série implica que x ainda é estritamente menor que 1. A partir dessa contradição, deduzimos que e é irracional.

Agora para os detalhes, se e é um número racional, existem números naturais a e b tal que e = ab. Definimos o número

Usando suposição de que e = ab, obtemos

O primeiro termo é um número inteiro, e cada fração na soma é, na verdade, um número inteiro porque nb para cada termo. Portanto, sob a suposição de que e é racional, x é um número inteiro.

Agora, provamos que 0 < x < 1. Primeiro, para provar que x é estritamente positivo, inserimos a representação em série de e na definição de x e obtemos pois todos os termos são estritamente positivos.

Agora podemos provar que x < 1. Para todos os termos com nb + 1 temos a estimativa superior

Essa desigualdade é estrita para todo nb + 2. Ao alterar o índice de soma para k = nb e usar a fórmula para a série geométrica infinita, obtemos

E, portanto, x < 1.

Como não há nenhum número inteiro estritamente entre 0 e 1, chegamos a uma contradição. Portanto, e é irracional, C.Q.D.

Referências

  1. Euler, Leonhard (1744). «De fractionibus continuis dissertatio» [A dissertation on continued fractions] (PDF). Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 98–137 
  2. Euler, Leonhard (1985). «An essay on continued fractions». Mathematical Systems Theory. 18: 295–398. doi:10.1007/bf01699475. hdl:1811/32133Acessível livremente 
  3. Sandifer, C. Edward (2007). «Chapter 32: Who proved e is irrational?». How Euler did it (PDF). [S.l.]: Mathematical Association of America. pp. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658 
  4. A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e
  5. Cohn, Henry (2006). «A short proof of the simple continued fraction expansion of e». American Mathematical Monthly. 113 (1): 57–62. Bibcode:2006math......1660C. JSTOR 27641837. arXiv:math/0601660Acessível livremente. doi:10.2307/27641837 
  6. de Stainville, Janot (1815). Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [A mixture of Algebraic Analysis and Geometry]. [S.l.]: Veuve Courcier. pp. 340–341