Função exponencial – Wikipédia, a enciclopédia livre
Esboço do gráfico de uma função exponencial
Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.[1][2]
A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoenten, isto é,[3]
Esta definição implica as seguintes propriedades:
A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]
De fato, a função y = ax é a única função contínuay=f(x) que satisfaz:
Mostraremos, primeiro, que para todo . Com efeito, notamos que . Suponhamos, por contradição, que para algum . Mas, daí temos , uma contradição. Concluímos que para todo .
Como consequência para todo , uma vez que .
Propriedade 2
Sejam . Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Tomamos, então, tal que . Segue que . Pela propriedade 1, temos . Logo, se, e somente se, . Como , se, e somente se, . Concluímos que, se, e somente se, .
Propriedade 3
Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.
Propriedade 4
Consequência imediata das propriedades 2 e 3.
Propriedade 5
Seja com . Tomamos tal que . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos . Logo, dado qualquer , se escolhemos como o menor inteiro maior que , temos , i.e. é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para .
Propriedade 6
Para qualquer , temos está bem definida. Além disso, temos:
Como, , seque que:
.
Lema
Dados um número real e um intervalo , com , então existe um número racional tal que .[1]
Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural tal que:
.
Como consequência, existe um número natural tal que:
.
Daí, segue que:
.
Assim:
.
Desta forma, temos que:
é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo . Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a , i.e. para algum , temos com .
Propriedade 7
Seja . Suponhamos que . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada tal que . Pela completude dos números reais, temos que quando . Segue da continuidade de (propriedade 6), que:
i.e., dado , existe tal que . A demonstração para segue raciocínio análogo.
A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:[4]
Como é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.