Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894) A Integral de Tchebychev é formulada por
Teorema — ∫ x p ( 1 − x ) q d x = B ( x ; 1 + p , 1 + q ) {\displaystyle \int x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)}
onde B ( x ; a , b ) {\displaystyle B(x;a,b)} é a função beta incompleta .[ 1]
Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:[ 2]
∫ x m ( a + b x n ) p d x {\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx} onde a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são números reais e m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} e p {\displaystyle p} são números racionais , não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} e p {\displaystyle p} , exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:[ 3] [ 4]
p {\displaystyle p} é um número inteiro ; Expande-se ( a + b x n ) p {\displaystyle (a+b\,x^{n})^{p}} pela fórmula binomial , escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples x i c = x i c {\displaystyle {\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}} . Então a substituição x = t r {\displaystyle x=t^{r}} , onde r {\displaystyle r} é o maior de todos os denominadores c {\displaystyle c} , removerá completamente os radicais.[ 5] m + 1 n {\displaystyle {\frac {m+1}{n}}} é um número inteiro; Substitui-se a + b x n = t k {\displaystyle a+b\,x^{n}=t^{k}} onde k {\displaystyle k} é o denominador de p {\displaystyle p} ,[ 4] ou seja, x = t k − a b n {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}} e x m = ( t k − a b ) m n {\displaystyle x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}} .[ 6] p + m + 1 n {\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}} é um número inteiro. Substitui-se a x − n + b = t k {\displaystyle ax^{-n}+b=t^{k}} onde k {\displaystyle k} é o denominador de p {\displaystyle p} .[ 5] [ 4] Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares .[ 7]
∫ x 3 ( 1 + 2 x 2 ) − 3 2 d x {\displaystyle \int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx} ,[ 4] onde p = − 3 2 {\displaystyle p=-{\frac {3}{2}}} , n = 2 {\displaystyle n=2} e m = 3 {\displaystyle m=3} , ou seja, m + 1 n = 3 + 1 2 = 2 {\displaystyle {\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2} . Logo, 1 + 2 x 2 = z 2 ⟶ x = z 2 − 1 2 ⟶ d x = 1 2 z z 2 − 1 d z {\displaystyle 1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz} .
Assim, F ( x ) = ∫ ( z 2 − 1 2 ) 3 2 ( z 2 ) − 3 2 z ( z 2 − 1 ) − 1 2 d z = 1 4 ∫ z − 2 ( z 2 − 1 ) d z = 1 4 ∫ ( 1 − 1 z 2 ) d z = 1 4 ( z + 1 z ) + C = 1 4 ( 1 + 2 x 2 + 1 1 + 2 x 2 ) + C . {\displaystyle F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.}
Referências ↑ Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral» . mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019 ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial» , Enciclopédia de Matemática , ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer ↑ «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics» . www.encyclopediaofmath.org . Consultado em 28 de outubro de 2019 ↑ a b c d Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis . Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 ↑ a b Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF) . Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion ↑ Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF) . ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials» , Enciclopédia de Matemática , ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer