Raio de convergência – Wikipédia, a enciclopédia livre
Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.
No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto , onde é centro da série e é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta . Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência
A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:
- , onde são os coeficientes da série:
Existe um forma alternativa que é: , quando este limite existe.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência .
A convergência na circunferência , no entanto, é diferente para cada caso:
- não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
- não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo de módulo unitário pelo teste de Abel.
- converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica .
Uma série pode ter raio de convergência nulo:
Esta série não pode convegir para nenhum pelo teste do termo geral, convergindo apenas para
Uma série pode ter raio de convergência infinito:
Neste caso, a série converge para todo z.
A fórmula de Hadamard
[editar | editar código-fonte]A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:
Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.
O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola . Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto tal que .
Para mostrar a primeira parte, escolha . Escolha um tal que
Da definição de limite superior temos:
- para algum
Agora podemos estimar os termos da série:
E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica que é convergente.
Agora escolha um tal que . Escolha tal que , da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência tal que:
Assim a o termo não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.