A transformada de Abel pode ser interpretada geometricamente como a projeção de uma função circularmente simétrica f(r) sobre uma linha situada a uma dada distância do eixo de simetria. O valor de f é ilustrado em tons de cinza. Em Matemática , a Transformada de Abel , enunciada por Niels Henrik Abel , é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra[ 1] e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita.[ 2] Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} a A 4 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}} , cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.[ 3]
A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f (r ) é dada por:
F ( y ) = 2 ∫ y ∞ f ( r ) r d r r 2 − y 2 . {\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.} Assumindo f (r ) indo a zero mais rapidamente que 1/r , a correspondente transformada inversa é dada por:
f ( r ) = − 1 π ∫ r ∞ d F d y d y y 2 − r 2 . {\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.} [ 2] [ 3] Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional.[ 3] Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central .[ 4]
A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais , tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional . As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis.[ 5] Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.[ 2]
Abel foi o pioneiro no estudo das equações integrais , ao trabalhar, entre 1802 e 1809, com a chamada equação integral de Abel [ nota 1]
g ( x ) = ∫ 0 x f ( y ) ( x − y ) α d y | x > 0 , 0 < α < 1 ( 1 a ) {\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\qquad |x\;>\;0,\;0\;<\;\alpha \;<\;1\qquad (1a)}
com g(x) dada e f(x) incógnita. Essa é uma equação integral de Volterra do primeiro tipo; com α = ½, tem relevância na solução do problema da curva tautocrônica , o que foi o fato motivador da pesquisa original. Demonstra-se facilmente que
∫ 0 x f ( y ) ( x − y ) α d y = f ( x ) ∗ 1 x α ( 1 b ) {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1b)}
onde * denota a operação de convolução . A equação de convolução resultante
g ( x ) = f ( x ) ∗ 1 x α ( 1 c ) {\displaystyle g(x)\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1c)}
pode ser resolvida por meio da transformada de Laplace , resultando em
g ( x ) = sin ( α π ) π [ g ( 0 + ) x 1 − α + ∫ 0 x d d y g ( y ) ( x − y ) 1 − α d y ] ( 1 d ) {\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\left[{\frac {g(0+)}{x^{1-\alpha }}}\;+\;\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;g(y)}{(x\;-\;y)^{1-\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1d)}
onde g(0+) é uma forma concisa de escrever o limite
lim x → 0 [ ∫ 0 x f ( y ) ( x − y ) α d y ] ( 1 e ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}\left[\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1e)}
De forma mais genérica, outras equações integrais em que o integrando é ou pode ser levado, por meio de uma substituição de variáveis, à forma f ( x ) h ( x − y ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x-y)}}} são resolvidas pela mesma técnica. Por exemplo, a solução da equação mais geral
g ( x ) = ∫ 0 x f ( y ) ⋅ h ( x − y ) d y | h ( u ) = 0 / u < 0 ( 1 f ) {\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}f(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad |h(u)\;=\;0\;/\;u\;<\;0\qquad (1f)}
é dada por
g ( x ) = d d y [ ∫ 0 x g ( y ) ⋅ h ( x − y ) d y ] = g ( 0 + ) ⋅ h ( x ) + ∫ 0 x [ d d y g ( y ) ] ⋅ h ( x − y ) d y ( 1 g ) {\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {d}{dy}}\left[\int _{0}^{x}g(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\right]\;=\;g(0+)\cdot h(x)\;+\;\int _{0}^{x}\left[{\frac {d}{dy}}g(y)\right]\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad (1g)}
e uma equação na forma
g ( x ) = ∫ 0 x ϕ ( y ) ⋅ h ( x 2 − y 2 ) d y ( 1 h ) {\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}\phi (y)\cdot h(x^{2}\;-\;y^{2})\;dy\qquad (1h)}
com as substituições u = x2 e v = y2 , se transforma na equação
g ( x ) = 1 2 ∫ 0 u v ⋅ ϕ ( v ) ⋅ h ( u − v ) d v ( 1 i ) {\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{2}}\int _{0}^{u}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})\cdot h(u\;-\;v)\;dv\qquad (1i)}
que tem a forma da equação (1f), com f ( v ) = 1 2 v ⋅ ϕ ( v ) {\displaystyle f(v)\;=\;{\frac {1}{2}}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})} , e a solução, portanto, é dada por (1g).[ 3]
As 4 versões da transformada de Abel são as seguintes:
A 1 { f ( x ) } = A 1 ( y ) = 2 ∫ y ∞ x ⋅ f ( x ) x 2 − y 2 d x | y > 0 ( 2 a ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{y}^{\infty }{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2a)}
A 2 { f ( x ) } = A 2 ( y ) = ∫ y ∞ f ( x ) x 2 − y 2 d x | y > 0 ( 2 b ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}\;=\;A_{2}(y)\;=\;\int _{y}^{\infty }{\frac {f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2b)}
A 3 { f ( x ) } = A 3 ( y ) = ∫ 0 y f ( x ) y 2 − x 2 d x | y > 0 ( 2 c ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\;=\;A_{3}(y)\;=\;\int _{0}^{y}{\frac {f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2c)}
A 4 { f ( x ) } = A 4 ( y ) = 2 ∫ 0 y x ⋅ f ( x ) y 2 − x 2 d x | y > 0 ( 2 d ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;A_{4}(y)\;=\;2\int _{0}^{y}{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2d)} .[ 3]
A solução das equações integrais (2a) a (2d), sob a condição geral
lim y → ∞ A k ( y ) = 0 ( 4 a ) {\displaystyle \lim _{y\to \infty }A_{k}(y)\;=\;0\qquad (4a)}
é dada pela respectiva transformada inversa de Abel :
f ( x ) = A 1 − 1 { A 1 ( y ) } = − 1 π x [ d d x ∫ x ∞ y ⋅ A 1 ( y ) y 2 − x 2 d y ] = − 1 π ∫ x ∞ d d y A 1 ( y ) y 2 − x 2 d y ( 3 a ) {\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3a)}
f ( x ) = A 2 − 1 { A 2 ( y ) } = − 2 π [ d d x ∫ x ∞ y ⋅ A 2 ( y ) y 2 − x 2 d y ] = − 2 x π ∫ x ∞ d d y A 2 ( y ) y 2 − x 2 d y ( 3 b ) {\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{2}^{-1}\{A_{2}(y)\}\;=\;-{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {2x}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3b)}
f ( x ) = A 3 − 1 { A 3 ( y ) } = 2 π [ d d x ∫ 0 x y ⋅ A 3 ( y ) x 2 − y 2 d y ] = 2 ⋅ A 3 ( 0 ) π + 2 x π ∫ 0 x d d y A 3 ( y ) x 2 − y 2 d y ( 3 c ) {\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{3}^{-1}\{A_{3}(y)\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {2\cdot A_{3}(0)}{\pi }}\;+\;{\frac {2x}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3c)}
f ( x ) = A 4 − 1 { A 4 ( y ) } = 1 π x [ d d x ∫ 0 x y ⋅ A 4 ( y ) x 2 − y 2 d y ] = A 4 ( 0 ) π x + 1 π ∫ 0 x d d y A 4 ( y ) x 2 − y 2 d y ( 3 d ) {\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{4}^{-1}\{A_{4}(y)\}\;=\;{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {A_{4}(0)}{\pi x}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3d)}
A transformada A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} , por ser um caso especial (o caso que apresenta simetria circular) da transformada de Radon bidimensional, pode ainda ser invertida pela fórmula
f ( x ) = A 1 − 1 { A 1 ( y ) } = − 1 π [ d d x ∫ x ∞ x ⋅ A 1 ( y ) y y 2 − x 2 d y ] ( 3 e ) {\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {x\cdot A_{1}(y)}{y{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}}\;dy\right]\qquad (3e)} [ 3]
A equação (2a) também pode ser escrita na forma
A 1 { f ( x ) } = A 1 ( y ) = 2 ∫ 0 ∞ f ( x ) ⋅ k ( x , y ) d x k ( x ) = { 0 : x < y 2 x x 2 − y 2 : x ≥ y ( 2 e ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\cdot k(x,y)\;dx\qquad k(x)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&x\;<\;y\\\\{\frac {2x}{x^{2}\;-\;y^{2}}}&:&x\;\geq \;y\end{matrix}}\right.\qquad (2e)}
que é a forma de uma transformada integral genérica. A função k(x) é chamada o núcleo de Abel [ 2] .
As diferentes versões da transformada de Abel mantêm entre si as seguintes igualdades:
A 1 { f ( x ) } = 2 A 2 { x ⋅ f ( x ) } A 4 { f ( x ) } = 2 A 3 { x ⋅ f ( x ) } A 1 { f ( x ) x } = 2 A 2 { f ( x ) } A 4 { f ( x ) x } = 2 A 3 { f ( x ) } f ( x ) = 2 π d d y A 1 { y ⋅ A 1 ( y ) } f ( x ) = − 2 π d d y A 2 { y ⋅ A 2 ( y ) } ( 4 b ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{x\cdot f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{x\cdot f(x)\}\\\\{\mathcal {A}}_{1}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\\\\f(x)\;=\;{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{1}\{y\cdot A_{1}(y)\}&\qquad &f(x)\;=\;-{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{2}\{y\cdot A_{2}(y)\}\end{matrix}}\qquad (4b)} [ 3]
A função núcleo modificado de Abel K(y) dada por
K ( y ) = { 1 − y : y < 0 0 : y ≥ 0 ( 4 c ) {\displaystyle K(y)\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {-y}}}&:&y\;<\;0\\\\0&:&y\;\geq \;0\end{matrix}}\right.\qquad (4c)} [ 2]
possui a seguinte propriedade
K ( y ) ∗ ( K ( y ) ∗ [ d d y A 3 ( y ) ] ) = − π A 3 ( y ) ( 4 d ) {\displaystyle K(y)\;*\;\left(K(y)\;*\;\left[{\frac {d}{dy}}A_{3}(y)\right]\right)\;=\;-\pi A_{3}(y)\qquad (4d)}
(4d) pode ser reescrita em forma de operadores como
K ∗ K ∗ ∂ = − π ⋅ A 3 ( 4 e ) {\displaystyle \mathbf {K} \;*\;\mathbf {K} \;*\;\mathbf {\partial } \;=\;-\pi \cdot {\mathcal {A}}_{3}\qquad (4e)}
Ou seja, duas convoluções com a função núcleo modificado equivalem à inversa da diferenciação, isto é, a uma integração. Por isso, diz-se que uma convolução equivale a "meia integração". Essa propriedade leva diretamente aos conceitos de derivada fracional e de integral fracional. [ 2]
∫ − ∞ ∞ A 3 ( y ) d y = 2 π ∫ 0 ∞ x ⋅ f ( x ) d x ( 4 f ) {\displaystyle \int _{^{-}\infty }^{\infty }A_{3}(y)\;dy\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }x\cdot f(x)\;dx\qquad (4f)} [ 2]
A 3 ( 0 ) = 2 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ( 4 g ) {\displaystyle A_{3}(0)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\;dx\qquad (4g)} [ 2]
Se uma função bidimensional f(x,y) possui simetria circular, podemos escrever f(x,y) = f(r). A transformada de Radon de f(r) será uma função apenas de ρ, e podemos fazer θ = 0 na fórmula de definição
R { f ( x , y ) } = ϕ ( ρ , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) ⋅ δ ( ρ − x cos ( θ ) − y sin ( θ ) ) d x d y {\displaystyle {\mathcal {R}}\{f(x,y)\}\;=\;\phi (\rho ,\theta )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\cdot \delta \left(\rho \;-\;x\cos(\theta )\;-\;y\sin(\theta )\right)\;dx\;dy}
onde R { f ( x , y ) } {\displaystyle {\mathcal {R}}\{f(x,y)\}} é a transformada de Radon bidimensional de f(x,y), de forma a obter
ϕ ( ρ ) = 2 ∫ ρ ∞ u ⋅ f ( u ) u 2 − ρ 2 d u | ρ > 0 {\displaystyle \phi (\rho )\;=\;2\int _{\rho }^{\infty }{\frac {u\cdot f(u)}{\sqrt {u^{2}\;-\;\rho ^{2}}}}\;du\qquad |\;\rho \;>\;0}
que é a definição da transformada de Abel A 3 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}} .
Como A 3 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}} é um caso especial de R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , vale o teorema da fatia central e podemos escrever, em forma de operadores
F 1 A 3 = F 2 ( 4 h ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {F}}_{2}\qquad (4h)}
onde F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} denota a transformada de Fourier de dimensão n . Essa propriedade é importante porque permite obter transformadas de Abel a partir de tabelas de transformadas de Fourier.
Finalmente, como a transformada de Hankel de ordem 0 K 0 {\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}} é idêntica à transformada bidimensional de Fourier para a situação considerada, de simetria circular, e como a transformada de Hankel é sua própria inversa, podemos também escrever
F 1 A 3 = K 0 ⟹ A 3 − 1 = K 0 F 1 ( 4 i ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}\qquad \implies {\mathcal {A}}_{3}^{-1}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}{\mathcal {F}}_{1}\qquad (4i)} [ 6] .
A expressão (4i) é conhecida como o anel (ou o ciclo ) de transformadas Abel-Fourier-Hankel (ing. Abel-Fourier-Hankel ring of transforms ). Cumpre recordar que a função original f precisa apresentar simetria circular para que a transformação de Abel seja aplicada.[ 2]
A equação integral de Riemann-Liouville
g ( x ) = 1 Γ ( μ ) ∫ 0 x f ( y ) ( x − y ) μ − 1 d y ( 5 a ) {\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5a)}
onde Γ(x) é a função gama , é resolvida com ajuda da transformada de Abel A 4 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}} após a substituição de variáveis x = u2 e y = v2 , e fazendo α = ½. Com isso, (5a) se transforma em
π ⋅ g ( u 2 ) | μ = 1 2 = 2 ∫ 0 u v f ( v 2 ) ( u 2 − v 2 ) 1 2 d v ( 5 b ) {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{0}^{u}{\frac {vf(v^{2})}{(u^{2}\;-\;v^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5b)}
A equação integral de Weyl
g ( x ) = 1 Γ ( μ ) ∫ x ∞ f ( y ) ( y − x ) μ − 1 d y ( 5 c ) {\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{x}^{\infty }{\frac {f(y)}{(y\;-\;x)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5c)}
mediante a mesma substituição de variáveis, se transforma em
π ⋅ g ( u 2 ) | μ = 1 2 = 2 ∫ u ∞ v f ( v 2 ) ( v 2 − u 2 ) 1 2 d v ( 5 d ) {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{u}^{\infty }{\frac {vf(v^{2})}{(v^{2}\;-\;u^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5d)} [ 5]
Tabela 1 - Transformadas de Abel do tipo 1 de algumas funções f(x)[ 7] [ 2] f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ nota 2] A 1 ( y ) {\displaystyle A_{1}(y)} δ ( x − a ) {\displaystyle \delta (x\;-\;a)} 2 a χ ( y a ) a 2 − y 2 {\displaystyle 2a\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}} χ ( x a ) a 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}} π ⋅ χ ( y a ) {\displaystyle \pi \cdot \chi \left({\frac {y}{a}}\right)} χ ( x a ) {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)} 2 χ ( y a ) a 2 − y 2 {\displaystyle 2\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}} χ ( x a ) ⋅ a 2 − x 2 {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}} π 2 χ ( y a ) ⋅ ( a 2 − y 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})} χ ( x a ) ⋅ ( a 2 − x 2 ) {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})} 4 3 χ ( y a ) ⋅ ( a 2 − y 2 ) 3 2 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {3}{2}}} χ ( x a ) ⋅ ( a 2 − x 2 ) 3 2 {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {3}{2}}} 3 π 8 χ ( y a ) ⋅ ( a 2 − y 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{2}} χ ( x a ) ⋅ ( a 2 − x 2 ) n − 1 2 {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {n-1}{2}}} C n χ ( y a ) ⋅ ( a 2 − y 2 ) n 2 {\displaystyle C_{n}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {n}{2}}} 1 a 2 + x 2 {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}\;+\;x^{2}}}} π a 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {a^{2}\;+\;y^{2}}}}} e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} π ⋅ e − y 2 {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}} x 2 e − x 2 {\displaystyle x^{2}e^{-x^{2}}} ( y 2 + 1 2 ) π ⋅ e − y 2 {\displaystyle \left(y^{2}\;+\;{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}} s i n c ( 2 a x ) {\displaystyle sinc(2ax)} 1 2 a ⋅ J 0 ⋅ s i n c ( 2 a π y ) {\displaystyle {\frac {1}{2a}}\cdot J_{0}\cdot sinc(2a\pi y)} cos ( a x ) {\displaystyle \cos(ax)} − π ⋅ y ⋅ J 1 ( a y ) {\displaystyle -\pi \cdot y\cdot J_{1}(ay)} J 0 ( a x ) {\displaystyle J_{0}(ax)} 2 a cos ( a y ) {\displaystyle {\frac {2}{a}}\cos(ay)} 1 x J 1 ( a x ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}J_{1}(ax)} 2 a y sin ( a y ) {\displaystyle {\frac {2}{ay}}\sin(ay)} 1 x J 2 n ( 2 a x ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}J_{2n}(2ax)} − π ⋅ J n ( a y ) ⋅ Y n ( a y ) {\displaystyle -\pi \cdot J_{n}(ay)\cdot Y_{n}(ay)} 1 x Y 2 n ( 2 a x ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}Y_{2n}(2ax)} π 2 [ J n 2 ( a y ) − Y n 2 ( a y ) ] {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left[J_{n}^{2}(ay)\;-\;Y_{n}^{2}(ay)\right]}
Tabela 2 - Transformadas de Abel do tipo 2 de algumas funções f(x)[ 7] f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ nota 2] A 2 ( y ) {\displaystyle A_{2}(y)} χ ( x a ) a 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}} 1 a ⋅ F ( π 2 , 1 − y a ) | y < a {\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a} χ ( x a ) {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)} ln ( a + a 2 − y 2 y ) | y < a {\displaystyle \ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\qquad |\;y\;<\;a} δ ( x − a ) {\displaystyle \delta (x\;-\;a)} 1 a 2 − y 2 | y < a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}\qquad |\;y\;<\;a} χ ( x a ) ⋅ a 2 − x 2 {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}} a ⋅ [ F ( π 2 , 1 − y a ) − E ( π 2 , 1 − y a ) ] | y < a {\displaystyle a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a} x 2 ⋅ χ ( x a ) a 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}} a ⋅ E ( π 2 , 1 − y a ) | y < a {\displaystyle a\cdot E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a} ( a − x ) ⋅ χ ( x a ) {\displaystyle (a\;-\;x)\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)} ln ( a + a 2 − y 2 y ) − a 2 − y 2 | y < a {\displaystyle \ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\;-\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}\qquad |\;y\;<\;a} sin ( a x ) {\displaystyle \sin(ax)} π 2 J 0 ( a y ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)} x ⋅ cos ( a x ) {\displaystyle x\cdot \cos(ax)} − π 2 ⋅ y ⋅ J 1 ( a y ) {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)} x ⋅ J 0 ( a x ) {\displaystyle x\cdot J_{0}(ax)} 1 a cos ( a y ) {\displaystyle {\frac {1}{a}}\;\cos(ay)}
Tabela 3 - Transformadas de Abel do tipo 3 de algumas funções f(x)[ 7] f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ nota 2] A 3 ( y ) {\displaystyle A_{3}(y)} 1 a 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}} 1 a F ( π 2 , y a ) | y < a {\displaystyle {\frac {1}{a}}\;F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a} χ ( x a ) {\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)} arcsin ( a y ) | y > a {\displaystyle \arcsin \left({\frac {a}{y}}\right)\qquad |\;y\;>\;a} δ ( x − a ) {\displaystyle \delta (x\;-\;a)} y 2 − a 2 | y > a {\displaystyle {\sqrt {y^{2}\;-\;a^{2}}}\qquad |\;y\;>\;a} a 2 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}} a E ( π 2 , y a ) | y < a {\displaystyle a\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a} x 2 a 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}} a ⋅ [ F ( π 2 , y a ) − E ( π 2 , y a ) ] | y < a {\displaystyle a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a} ( a − x ) {\displaystyle (a\;-\;x)} a π 2 − y | y < a {\displaystyle {\frac {a\pi }{2}}\;-\;y\qquad |\;y\;<\;a} cos ( a x ) {\displaystyle \cos(ax)} π 2 J 0 ( a y ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)} x ⋅ sin ( a x ) {\displaystyle x\cdot \sin(ax)} π 2 ⋅ y ⋅ J 1 ( a y ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)} x ⋅ J 0 ( a x ) {\displaystyle x\cdot J_{0}(ax)} 1 a sin ( a y ) {\displaystyle {\frac {1}{a}}\;\sin(ay)} J 2 n ( a x ) {\displaystyle J_{2n}(ax)} π 2 ⋅ [ J n ( a y 2 ) ] 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot \left[J_{n}\left({\frac {ay}{2}}\right)\right]^{2}} x n + 1 ⋅ J n ( a x ) {\displaystyle x^{n+1}\cdot J_{n}(ax)} π 2 a y n + 1 2 ⋅ J n + 1 2 ( a y ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}\;y^{n+{\frac {1}{2}}}\cdot J_{n+{\frac {1}{2}}}(ay)} onde: χ ( x ) {\displaystyle \chi (x)\,} é a função indicadora para o círculo de raio unitário[ nota 3] δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)\,} é a função impulso unitário s i n c ( x ) {\displaystyle sinc(x)\,} é a função seno cardinal J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)\,} é a função de Bessel de primeira espécie de ordem n Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)\,} é a função de Bessel de segunda espécie de ordem n F ( x ) {\displaystyle F(x)\,} é a integral elíptica de primeira espécie E ( x ) {\displaystyle E(x)\,} é a integral elíptica de segunda espécie C n {\displaystyle C_{n}\,} é o valor da integral 2 ∫ 0 π 2 cos n ( x ) d x {\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}(x)\;dx} [ nota 4] a ∈ R | a > 0 {\displaystyle a\in {\mathcal {R}}\;|\;a\;>\;0} n ∈ N {\displaystyle n\in {\mathcal {N}}}
↑ Alguns autores chamam (1a) de equação integral generalizada de Abel , reservando o nome "equação integral de Abel" para o caso especial α = ½. ↑ a b c Para manter coerência com o texto do verbete, empregou-se x como a variável independente, mas a maioria das tabelas que se encontra na literatura utiliza r , pois nos problemas práticos geralmente se trata de um raio vetor. ↑ Isto é: χ ( x ) = { 1 : | x | ≤ 1 0 : | x | > 0 = r e c t ( 2 x ) {\displaystyle \chi (x)\;=\;\left\{{\begin{matrix}1&:&|x|\;\leq \;1\\0&:&|x|\;>\;0\end{matrix}}\right.\;=\;rect\left(2x\right)} , onde rect é a função retangular . ↑ Informações sobre o cálculo dessa integral podem ser encontradas «aqui» (em inglês) .
Referências ↑ MathWorld - Transformada de Abel , disponível em http://mathworld.wolfram.com/AbelTransform.html , acessado em 20/12/2013 ↑ a b c d e f g h i j R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications , 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1 , Cap. 13, pp. 351 a 357 ↑ a b c d e f g S. Deans - Radon and Abel Transforms in A. Poularikas (org ) - The Transforms and Applications Handbook , 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 8, pp. 776 a 783 ↑ S. Deans - op. cit. , pp. 789 a 790 ↑ a b S. Deans - op. cit. , pag. 783 ↑ S. Deans - op. cit. , cap. 8, pag. 788 ↑ a b c S. Deans - op. cit. , pag. 824 a 825