Poliedru Catalan

Tetraedru triakis, icositetraedru pentagonal și triacontaedru disdiakis.
Poliedrele sunt dualele celor de deasupra.
Părțile vizibile ale poliedrelor Catalan sunt piramide regulate.
Dodecaedrul rombic cu configurația feței

În matematică, un poliedru Catalan, sau dual arhimedic, este un poliedru dual al unui poliedru arhimedic. Există 13 poliedre Catalan. Acestea sunt numite după matematicianul belgian Eugène Catalan care le-a descris pentru prima dată în 1865.

Poliedrele Catalan sunt toate convexe. Ele sunt tranzitive pe fețe, dar nu sunt tranzitive pe vârfuri. Asta datorită faptului că dualele poliedrelor arhimedice sunt tranzitive pe vârfuri, dar nu și pe fețe. Spre deosebire de poliedrele platonice și cele arhimedice, fețele poliedrelor Catalan nu sunt poligoane regulate. Totuși, figurile vârfurilor poliedrelor Catalan sunt regulate și au unghiuri diedre constante. Fiind tranzitive pe fețe, poliedrele Catalan sunt izoedre.

În plus, două dintre poliedrele Catalan, dodecaedrul rombic și triacontaedrul rombic, sunt tranzitive pe muchii. Acestea sunt dualele a două poliedre arhimedice cvasiregulate.

Așa cum prismele și antiprismele nu sunt considerate poliedre arhimedice, la fel bipiramidele și trapezoedrele, în ciuda faptului că sunt tranzitive pe fețe, nu sunt considerate poliedre Catalan.

Două dintre poliedrele Catalan, icositetraedrul pentagonal și hexacontaedrul pentagonal, sunt chirale, duale la chiralele cub snub și dodecaedru snub. Acestea vin fiecare în două forme enantiomorfe. Fără a lua în considerare enantiomorfele, bipiramidele și trapezoedrele, există în total 13 poliedre Catalan.

n Poliedru arhimedic Poliedru Catalan
1 tetraedru trunchiat tetraedru triakis
2 cub trunchiat octaedru triakis
3 cuboctaedru trunchiat dodecaedru disdiakis
4 octaedru trunchiat hexaedru tetrakis
5 dodecaedru trunchiat icosaedru triakis
6 icosidodecaedru trunchiat triacontaedru disdiakis
7 icosaedru trunchiat dodecaedru pentakis
8 cuboctaedru dodecaedru rombic
9 icosidodecaedru triacontaedru rombic
10 rombicuboctaedru icositetraedru romboidal
11 rombicosidodecaedru hexacontaedru romboidal
12 cub snub icositetraedru pentagonal
13 dodecaedru snub hexacontaedru pentagonal

Poliedrele Catalan, împreună cu dualele lor, poliedrele arhimedice, pot fi grupate în simetriile tetraedrică, octaedrică și icosaedrică. Atât pentru simetria octaedrică, cât și pentru cea icosaedrică există șase forme. Singurul poliedru Catalan cu o simetrie tetraedrică autentică este tetraedrul triakis (dual al tetraedrului trunchiat). Dodecaedrul rombic și hexaedrul tetrakis au simetrie octaedrică, dar pot fi colorate pentru a avea doar simetrie tetraedrică. De asemenea, există variante rectificate și snub cu simetrie tetraedrică, dar acestea sunt poliedre platonice în loc să fie arhimedice, deci dualele lor sunt platonice în loc de Catalan. (Sunt afișate cu fundal maro în tabelul de mai jos.)

Simetrie tetraedrică
arhimedic
(platonic)
Catalan
(platonic)
Simetrie octaedrică
arhimedic
Catalan
Simetrie icosaedrică
Arhimedic
Catalan

Lista poliedrelor Catalan

[modificare | modificare sursă]
Nume
(Nume dual)
Simbol Conway
Imagini Schelet
ortogonal
Poligonul
feței
Unghiurile
feței
(°)
Unghi
diedric
(°)
Fețe
Muchii
Vârfuri
Sim.
tetraedru triakis
(tetraedru trunchiat)
"kT"
tetraedru triakisTriakis tetraedru triunghi isoscel

V3.6.6
112.885
33.557
33.557
129.521 12
18
8
Td
dodecaedru rombic
(cuboctaedru)
"jC"
dodecaedru rombicdodecaedru rombic romb

V3.4.3.4
70.529
109.471
70.529
109.471
120 12
24
14
Oh
octaedru triakis
(cub trunchiat)
"kO"
octaedru triakisoctaedru triakis triunghi isoscel

V3.8.8
117.201
31.400
31.400
147.350 24
36
14
Oh
hexaedru tetrakis
(octaedru trunchiat)
"kC"
hexaedru tetrakishexaedru tetrakis triunghi isoscel

V4.6.6
83.621
48.190
48.190
143.130 24
36
14
Oh
icositetraedru romboidal
(rombicuboctaedru)
"oC"
icositetraedru romboidalicositetraedru romboidal romboid

V3.4.4.4
81.579
81.579
81.579
115.263
138.118 24
48
26
Oh
dodecaedru disdiakis
(cuboctaedru trunchiat)
"mC"
dodecaedru disdiakisdodecaedru disdiakis triunghi scalen

V4.6.8
87.202
55.025
37.773
155.082 48
72
26
Oh
icositetraedru pentagonal
(cub snub)
"gC"
icositetraedru pentagonalicositetraedru pentagonal (Ccw) pentagon

V3.3.3.3.4
114.812
114.812
114.812
114.812
80.752
136.309 24
60
38
O
triacontaedru rombic
(icosidodecaedru)
"jD"
triacontaedru rombictriacontaedru rombic romb

V3.5.3.5
63.435
116.565
63.435
116.565
144 30
60
32
Ih
icosaedru triakis
(dodecaedru trunchiat)
"kI"
icosaedru triakisicosaedru triakis triunghi isoscel

V3.10.10
119.039
30.480
30.480
160.613 60
90
32
Ih
dodecaedru pentakis
(icosaedru trunchiat)
"kD"
dodecaedru pentakisdodecaedru pentakis triunghi isoscel

V5.6.6
68.619
55.691
55.691
156.719 60
90
32
Ih
hexacontaedru romboidal
(rhombicosidodecaedru)
"oD"
hexacontaedru romboidalhexacontaedru romboidal romboid

V3.4.5.4
86.974
67.783
86.974
118.269
154.121 60
120
62
Ih
triacontaedru disdiakis
(icosidodecaedru trunchiat)
"mD"
triacontahedron disdiakistriacontaedru disdiakis triunghi scalen

V4.6.10
88.992
58.238
32.770
164.888 120
180
62
Ih
hexacontaedru pentagonal
(dodecaedru snub)
"gD"
hexacontaedru pentagonalhexacontahedron pentagonal (Ccw) pentagon

V3.3.3.3.5
118.137
118.137
118.137
118.137
67.454
153.179 60
150
92
I

Toate unghiurile diedre ale unui poliedru Catalan sunt egale. Notând valoarea lor cu , și notând unghiurile celor fețe care se întâlnesc într-un vârf cu , există relația

.

care poate fi folosită pentru a calcula și , , ... doar din , ... etc.

Fețe triunghiulare

[modificare | modificare sursă]

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 7 au fețe triunghiulare. Acestea sunt de forma Vp.q.r, unde p, q și r au valori între 3, 4, 5, 6, 8 și 10. Unghiurile , și se pot calcula în modul următor. Fie , , și fie

.

Atunci

,
.

Pentru și expresiile sunt, bineînțeles, similare. Unghiul diedru poate fi calculat din

.

De exemplu, pentru triacontaedrul disdiakis (, și , rezultă , și , unde este secțiunea de aur) se obține și .

Fețe patrulatere

[modificare | modificare sursă]

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 4 au fețe patrulatere. Acestea sunt de forma Vp.q.p.r, unde p, q și r au valori între 3, 4 și 5. Unghiurile se pot calcula cu relația

.

Din aceasta, , și unghiul diedru pot fi calculate ușor. Alternativ, fie , și . Atunci și pot fi calculate din relațiile pentru cazul triunghiular. Unghiul poate fi calculat similar. Fețele sunt romboidale, sau, dacă , romburi. De exemplu, pentru icositetraedrul romboidal (, și ) se obține .

Fețe pentagonale

[modificare | modificare sursă]

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 2 au fețe pentagonale. Acestea sunt de forma Vp.p.p.p.q, unde p=3 și q= 4 sau 5. Unghiurile pot fi calculate din ecuația de gradul trei

.

Proprietăți metrice

[modificare | modificare sursă]

Pentru un poliedru Catalan , fie dualul față de sfera mediană a . Atunci este un poliedru arhimedic având aceeași sferă mediană. Se notează lungimea muchiilor lui cu . Fie raza cercului înscris în fețele lui , raza mediană a lui și , raza cercului înscris în fețele lui și raza cercului circumscris fețelor lui . Aceste mărimi pot fi exprimate în funcție de și unghiul diedric prin relațiile:

,
,
,
.

Între aceste mărimi există relațiile , și .

De exemplu, fie un cuboctaedru cu laturile . Atunci este un dodecaedru rombic. Cu relațiile pentru fețe patrulatere și se obține , rezultă , , , .

Toate vârfurile lui de tip se află pe o sferă cu raza dată de

,

și similar pentru .

Dual, există o sferă tangentă în centrele tuturor fețelor lui care sunt poligoane regulate cu laturi (și similar pentru ). Raza acestei sfere este dată de

.

Între aceste două raze există relația . Continuând exemplul: și , care dă , , și .

Dacă este un vârf de tip al lui , este o muchie a lui care pornește din , și punctul unde muchia atinge sfera mediană a lui , se notează distanța cu . Atunci muchiile lui care unesc vârfurile de tip și au lungimile . Aceste valori pot fi calculate din

,

și similar pentru . Continuând exemplul: , , , , deci muchiile dodecaedrului rombic au lungimea .

Unghiurile diedre între fețele -gonale și -gonale ale lui satisfac relația

.

În finalul exemplului, unghiul diedru al cuboctaedrului este dat de .

Aplicarea la alte poliedre

[modificare | modificare sursă]

Toate formulele din această secțiune se aplică poliedrelor platonice, bipiramidelor și trapezoedrelor cu unghiuri diedre egale, de asemenea, deoarece ele pot fi deduse din proprietatea unghiului diedru constant. De exemplu, pentru trapezoedrul pentagonal cu fețele V3.3.5.3, se obține , sau . Acest lucru nu este surprinzător: este posibil să fie tăiate ambele vârfuri în așa fel încât să se obțină un dodecaedru regulat.


  • fr Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865
  • en Alan Holden, Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991
  • en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
  • en Robert Williams, (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. ISBN: 0-486-23729-X, (Section 3–9)
  • en Anthony Pugh (). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Legături externe

[modificare | modificare sursă]

Materiale media legate de poliedru Catalan la Wikimedia Commons