Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.
Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:
- для невизначеного інтеграла:
![{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74776299e3356331286374f6f92d111c0afafc3d)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f391d32f184d53bbf59c5ca55d46bf8f7a15e5aa)
Передбачається, що знаходження інтеграла
простіше, ніж
. У іншому випадку застосування методу не виправдано.
Функції
і
гладкі, отже, можливе диференціювання:
![{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213864bff5686281b6e658ce9326d32a8a727193)
Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:
![{\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a36851b822245bc38665c87edd3ec3bdc63b7f9)
Операція інтегрування протилежна диференціюванню:
![{\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd61aac6af84c6edacf361770ddf66373828bca)
Після перестановок:
![{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74776299e3356331286374f6f92d111c0afafc3d)
У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:
![{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213864bff5686281b6e658ce9326d32a8a727193)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c63b914fb0e6c7495a67c98f85fd4710d1ae193)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f391d32f184d53bbf59c5ca55d46bf8f7a15e5aa)
![{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9687f20569ebf8ca98e67688c6eed41ec0c06108)
![{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0728824dc6964542ef2b72be25fc0b9bd0d70950)
- Іноді цей метод застосовується кілька разів:
![{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0f3b3e1774632a142a5fc827d5b1ee0bfef6c3)
![{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168711aa02e7601e1d223d1a647daa62d330b90b)
- Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
![{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5a3cfd1bd76c515c57dc47c0cf4e8b3ae5bd05)
![{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2ba8177c88ce5584d601a5ac73f3c394cfaa7)
- У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:
![{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87dcd796998da794f94af1577d6d0039484d0ef)
![{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be64b4255f3785acfa7e9871e97bc26a24004ea2)
![{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6113a48465cd968e4a558b89ea5a5075fa7f4e11)
![{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78651bf6ce38e3fb7e49391cbb00514a26fac5f9)
- У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
![{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7620a0b5ef146a6d370bca72520ee4c3b99bb82)
- Вирішивши отриману систему, одержуємо:
![{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af69ccd4f4328908551078833de877816b37c45)
![{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f677783d0309adc73ebcc9b314019eb5f8286da9)