Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.
Нехай виконуються такі умови:
- Послідовність обмежена, тобто .
- .
- .
Тоді ряд є збіжним.
Із збіжності до нуля маємо, що для будь-якого існує що виконується для всіх . Т
Також:
Оскільки то також :
Відповідно ряд є абсолютно збіжним і ряд збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на , що прямує до нуля.
- Нехай є монотонною послідовністю і . Якщо взяти то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду . Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
- Якщо є монотонно спадною і . Нехай тепер і де дійсне число Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:
- Таким чином:
- Із цих формул одержується, що всі суми і за абсолютним значенням є обмеженими числом
- Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди і є збіжними.
- Конкретними прикладами таких рядів є і Оскільки комплексне число для якого можна записати як і , то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду для і
Нехай виконуються умови:
- і має на обмежену первісну , тобто ;
- функція ;
- .
Тоді існує.
- Очевидно, також можна було визначити такі умови .
- Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.
Проте ця умова не є необхідною:
- — збігається.