Обернені тригонометричні функції — Вікіпедія
Обернені тригонометричні функції | |
![]() | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
---|---|
Обернений елемент | тригонометричні функції |
![]() |
![]() | Цю статтю треба вікіфікувати для відповідності стандартам якості Вікіпедії. (листопад 2015) |
Тригонометрія |
---|
![]() |
Посилання |
Закони і теореми |
Обчислення |
Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.
До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:
- аркси́нус (arcsin)
- аркко́синус (arccos)
- аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)
- арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)
- арксе́канс (arcsec)
- арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)
Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від лат. arc — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.
Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.
Функцію y = arcsin(x) можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що sin(y) = x; наприклад, sin(0) = 0, але і sin(π) = 0, sin(2π) = 0, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз arcsin(x) буде обчислювати лише одне значення, яке називається головним значенням[en]. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.
Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.
Назва | Позначення | Визначення | Можливі дійсні значення аргументу функції | Область значень (радіани) | Область значень (градуси) |
---|---|---|---|---|---|
арксинус | y = arcsin x | x = sin y | −1 ≤ x ≤ 1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 | −90° ≤ y ≤ 90° |
арккосинус | y = arccos x | x = cos y | −1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0° ≤ y ≤ 180° |
арктангенс | y = arctg x | x = tg y | всі дійсні числа | −π/2 < y < π/2 | −90° < y < 90° |
арккотангенс | y = arcctg x | x = ctg y | всі дійсні числа | 0 < y < π | 0° < y < 180° |
арксеканс | y = arcsec x | x = sec y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π | 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° |
арккосеканс | y = arccosec x | x = cosec y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 | -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90° |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Arcsine_Arccosine.svg/168px-Arcsine_Arccosine.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Arcsecant_Arccosecant.svg/294px-Arcsecant_Arccosecant.svg.png)
Доповнювальний кут:
Від'ємний аргумент:
Обернений аргумент:
Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:
Із формули половинного кута , отримаємо:
Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.
Діаграми | ||||
---|---|---|---|---|
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() |
Похідна для дійсних та комплексних значень x:
Тільки для дійсних значень x:
Приклад знаходження похідної: нехай , отримаємо:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Trigonometry_triangle.svg/220px-Trigonometry_triangle.svg.png)
Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне
Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора: де це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.
Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:
Функція з двома аргументами atan2[en] розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−π, π]. Іншими словами, atan2(y, x) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (x, y) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.
Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−π/2, π/2), її можна задати наступним чином:
Це також дорівнює головному значенню[en] аргумента[en] комплексного числа x + iy.
Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута наступним чином:
за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.
Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.
Для кутів близькими за значенням до 0 і π, arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів).[1] Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −π/2 and π/2.
- Тригонометрія
- Тригонометричні функції
- Список тригонометричних тотожностей
- Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
- Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
- Інтегральні тригонометричні функції
- Обернені гіперболічні функції
- Weisstein, Eric W. Inverse Trigonometric Functions(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8
- Обернені тригонометричні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 182. — 594 с.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- ↑ Gade, Kenneth (2010). A non-singular horizontal position representation (PDF). The Journal of Navigation. Cambridge University Press. 63 (3): 395—417. doi:10.1017/S0373463309990415.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |