У математиці функція Гауса або звичайна гіпергеометрична функція — це спеціальна функція, представлена гіпергеометричним рядом, що включає багато інших спеціальних функцій як часткові або граничні[en] випадки, позначається . Це розв'язок лінійного звичайного диференціального рівняння (ЗДР) другого порядку. Будь-яке лінійне ЗДР другого порядку з трьома регулярними особливими точками[en] може бути зведене до такого рівняння.
Щодо упорядкованих списків деяких із багатьох тисяч опублікованих тотожностей, що стосуються гіпергеометричної функції, див. оглядові роботи Ерделі зі співавторами (1953)[1] та Ольде Даалхуїса (2010)[2]. На сьогодні невідома система організації всіх цих тотожностей; дійсно, не існує відомого алгоритму, який може породжувати всі тотожності; відома лише низка різних алгоритмів, які породжують різні серії тотожностей. Теорія алгоритмічного виявлення тотожностей залишається актуальною темою дослідження.
Термін "гіпергеометричний ряд" вперше був використаний Джоном Валлісом у його книзі "Arithmetica Infinitorum" в 1655 році.
Гіпергеометричні ряди вивчав Леонард Ейлер, але перше повне та систематичне трактування було проведено Карлом Фрідріхом Гаусом (1813) [3].
Дослідження у дев'ятнатнадцятому столітті включали роботу Ернеста Куммера (1836)[4] та фундаментальну характеристику Бернграда Рімана (1857)[5] гіпергеометричної функції за допомогою диференціального рівняння, яке вона задовольняє.
Ріман показав, що диференціальне рівняння другого порядку для функції , що розглядається на комплексній площині, може бути охарактеризовано (на сфері Рімана) за допомогою трьох регулярних особливих точок[en].
Випадки, коли розв'язки є алгебраїчними функціями, було знайдено Германом Шварцом (список Шварца[en]).
Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння
Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:
де , , — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, а — комплексна змінна.
Функція називається гіпергеометричною функцією першого роду.
Гіпергеометрична функція визначається при за допомогою степеневого ряду
Цей ряд буде невизначеним (або нескінченним), якщо дорівнює цілому недодатному числу. Тут — (зростаючий) символ Похаммера[en], який визначається наступним чином:
Ряд збігається абсолютно і рівномірно при ; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо ; при збігається в усіх точках одиничного кола, окрім . Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола з розрізом . Функція — однозначна аналітична в комплексній площині з розрізом . Якщо або — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція зводиться до полінома:
Якщо , де — ціле невід'ємне число, то . Якщо функцію поділити на значення гамма-функції , то отримаємо границю:
— найпоширеніший тип узагальнених гіпергеометричних рядів[en] і його часто позначають просто як .
Використовуючи тотожність , можна показати, що
і у загальному випадку
У частинному випадку, при , отримаємо
Багато загальновідомих математичних функцій можна виразити через гіпергеометричну функцію або через її граничні випадки. Деякі типові приклади:
- ;
- ;
- ;
- .
Вироджена гіпергеометрична функція[en] (або функція Куммера) може бути представлена як границя гіпергеометричної функції
Тому всі функції, які є частинними випадками функції Куммера, такі як функції Бесселя, також можуть бути представлені як границі гіпергеометричних функцій. Це стосується більшості загальновживаних функцій математичної фізики.
Функції Лежандра — розв'язок диференціального рівняння другого порядку з регулярними особливими точками, тому їх можна виразити через гіпергеометричну функцію різними способами, наприклад,
Деякі ортогональні многочлени, зокрема, поліноми Якобі і їх частинні випадки: поліноми Лежандра, поліноми Чебишова, поліноми Ґеґенбауера, можна записати у термінах гіпергеометричних функцій за допомогою формули
А також інші поліноми, які є частинними випадками: поліноми Кравчука, поліноми Мейкснера[en], поліноми Мейкснера–Поллачека[en].
Еліптичні модулярні функції іноді можна представити як обернені функції відношень гіпергеометричних функцій, аргументи яких , , дорівнюють 1, 1/2, 1/3, … або 0. Наприклад, якщо
то
— еліптична модулярна функція змінної .
Неповні бета-функції пов'язані з гіпергеометричними функціями наступним чином:
Повні еліптичні інтеграли та можна представити як
Гіпергеометрична функція є розв'язком гіпергеометричного диференціального рівняння Ейлера
яке має три регулярні особливі точки[en]: 0, 1 і . Узагальнення цього рівняння на три довільні регулярні особливі точки задається диференціальним рівнянням Рімана[en]. Будь-яке диференціальне рівняння другого порядку з трьома регулярними особливими точками може бути зведене до гіпергеометричного диференціального рівняння шляхом заміни змінних.
Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду . Рівняння має два лінійно незалежних розв'язки. У кожній з трьох особливих точок 0, 1, , зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду , помножені на голоморфну функцію змінної , де — один з двох коренів визначального рівняння (однорідного лінійного диференціального рівняння в особливій точці), а — локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці. Це дає спеціальних розв'язків, як показано нижче.
Якщо не є цілим недодатним числом, то в околі точки є два незалежні розв'язки:
і, за умови, що не є цілим числом,
Якщо не є додатним цілим числом , тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на . Другий розв'язок не існує, якщо є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо є будь-яким іншим цілим числом. Отже, якщо є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на плюс інший ряд за степенями та включає дигамма-функцію. Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010)[2].
Якщо не є цілим числом, то в околі є два незалежних розв'язки:
і
Якщо не є цілим числом, то в околі є два незалежних розв'язки:
і
Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.
Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає лінійних співвідношень між ними, які називаються формулами зв'язку.
Рівняння Фукса[en] другого порядку з особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна групі Коксетера порядку . Отже, для гіпергеометричного рівняння така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана Куммером. Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою 4-групи Клейна (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок). Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок до одного з виглядів:
які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4. (Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють , тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)
Застосування перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності
- (перетворення Ейлера);
- (перетворення Пфаффа);
Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до -форми
за допомогою заміни та виключенням першої похідної. Отримуємо
а визначається як розв'язок диференціального рівняння
тобто
-форма є важливою через її зв'язок з похідною Шварца[en] (Hille 1976[6], с. 307-401).
Трикутні відображення Шварца або -функції Шварца є відношеннями пар розв'язків:
де — одна з точок 0, 1, . Іноді також використовується позначення
Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають перетвореннями Мебіуса при трикутних відображеннях.
Кожне трикутне відображення є регулярним[en] при відповідно до
і
У частинному випадку з дійсними , та , причому , -відображення є конформними відображеннями верхньої півплощини у трикутники на сфері Рімана, що обмежені дугами кіл. Це відображення є узагальненням[en] відображення Шварца – Крістоффеля[en] у трикутники з круговими дугами. Особливі точки 0, 1 і відображаються у вершини трикутника. Кути трикутника дорівнюють , та відповідно.
Крім того, у випадку, якщо , та для цілих чисел , , , то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо , або ; а -відображення — обернені функції автоморфних функцій[en] для групи трикутника[en] .
Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у –площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки. Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції , то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.
Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):
де — фундаментальна група. Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи. Група монодромії рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії. Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точках[7]. Якщо , та є експонентами в 0, 1 та , то, вибираючи в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду:
- та
де
Якщо , , — не цілі раціональні числа зі знаменниками , , , то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли , див. список Шварца[en] або алгоритм Ковачича[en].
Якщо — це бета-функція, то має місце формула Ейлера:
за умови, що не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при чи за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо є дійсним числом, більшим або рівним , то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним. Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.
Інші представлення, що відповідають іншим головним гілкам[en], даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений цикл Похаммера[en], що обходить особливості в різних порядках. Такі шляхи відповідають дії монодромії.
Барнс використовував теорію лишків для оцінки інтеграла Барнса[en]:
як
де контур обрано так, щоб відокремити полюси від полюсів . Це справедливо до тих пір, поки не є невід'ємним дійсним числом.
Гіпергеометричну функцію Гауса можна записати у вигляді перетворення Джона[en] (Gelfand, Gindikin & Graev 2003[8], 2.1.2).
Шість функцій
називаються суміжними з гіпергеометричною функцією . Ця функція визначається як сума степеневого ряду
де параметри з Якщо та то справедлива формула Ейлера
З цієї формули випливає (див. Гамма-функція)
за умови
Функція є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:
У рівностях використано позначення , і т. д.
Асоційовані функції , де , , — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання
Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду
де — лінійні функції , а і пов'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.
Гаус використовував суміжні співвідношення, щоб дати декілька способів запису частки двох гіпергеометричних функцій у вигляді неперервного дробу, наприклад,
Формули перетворення пов'язують дві гіпергеометричні функції при різних значеннях аргументу .
Перетворення Ейлера
є комбінацією двох перетворень Пфаффа:
які в свою чергу випливають з інтегрального представлення Ейлера. Про узагальнення першого та другого перетворень Ейлера див. Раті й Паріс (2007)[9] та Раха і Раті (2011)[10]. Також гіпергеометричну функцію можна записати як лінійну комбінацію:
Якщо два з чисел , , , , , рівні або один з них дорівнює 1/2, то існує квадратичне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням , пов'язаним квадратним рівнянням. Перші приклади отримано Куммером (1836)[4], а повний перелік — Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є
Якщо , , відрізняються за знаком, або два з них дорівнюють або , то існує кубічне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням , пов'язаним кубічним рівнянням. Перші приклади отримано Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є
Існують також деякі перетворення 4 та 6 степенів. Перетворення інших степенів існують лише в тому випадку, якщо , та є певними раціональними числами (Відунас 2005[12]). Наприклад,
Перелік формул підсумовування в спеціальних точках див. в монографії Слейтер (1966, додаток ІІІ)[13], більшість з яких вперше з'являються в роботі Бейлі (1935)[14]. Гессель та Стентон (1982)[15] дають подальші оцінки в більшій кількості точок. Коепф (1995)[16] показав як більшість із цих тотожностей можна перевірити за допомогою комп'ютерних алгоритмів.
Теорема про підсумовування Гауса, названа на честь Карла Фрідріха Гауса, є тотожністю
яка випливає з інтегральної формули Ейлера, якщо взяти . Вона включає тотожність Вандермонда як частинний випадок.
Для частинного випадку, де ,
Формула Дугалла[en] узагальнює це співвідношення до двостороннього гіпергеометричного ряду[en] при .
Є багато випадків, коли гіпергеометричні функції можна обчислити при , використовуючи квадратичне перетворення для заміни на , а потім використовуючи теорему Гауса для обчислення результату. Типовим прикладом є теорема Куммера, яка була названа на честь Ернеста Куммера:
яка випливає з квадратичних перетворень Куммера
і теореми Гауса, якщо покласти в першій тотожності. Про узагальнення підсумовування Куммера див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].
Друга теорема Гауса про підсумовування:
Теорема Бейлі:
Щодо узагальнення другої теореми Гауса про підсумовування та теореми Бейлі про підсумовування див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].
Існує багато інших формул, що представляють гіпергеометричну функцію у вигляді алгебраїчного числа для спеціальних раціональних значень параметрів, деякі з яких наведені в роботах Гесселя і Стентона (1982)[15] та Коепфа (1995)[16]. Деякі типові приклади:
які можна представити як
де , а — (узагальнений) поліном Чебишова.
Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції
[ред. | ред. код] При великих значеннях гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки . Якщо — фіксовані числа і достатньо велике , , то при :
При є аналогічний вираз.
Представлення функцій через гіпергеометричну функцію
[ред. | ред. код] - Повний еліптичний інтеграл першого роду:
- Повний еліптичний інтеграл другого роду:
- Многочлени Лежандра:
- Приєднана функція Лежандра:
- Функції Бесселя:
- Ряд Аппеля[en], узагальнення гіпергеометричного ряду двох змінних
- Основний гіпергеометричний ряд[en], де відношення членів є періодичною функцією індексу
- Двосторонній гіпергеометричний ряд[en] , що подібний до узагальненого гіпергеометричного ряду, але підсумовування за всіма цілими числами
- Біноміальний ряд
- Вироджений гіпергеометричний ряд[en]
- Еліптичний гіпергеометричний ряд[en], де відношення доданків є еліптичною функцією індексу
- Гіпергеометричний інтеграл Ейлера, інтегральне подання для
- H-функція Фокса[en], узагальнення -функції Мейєра
- Функція Фокса–Райта[en], узагальнення узагальненої гіпергеометричної функції[en]
- Розв'язок Фробеніуса гіпергеометричного рівняння[en]
- Загальна гіпергеометрична функція[en], введена І.М. Гельфандом
- Узагальнений гіпергеометричний ряд[en] , де відношення доданків є раціональною функцією індексу
- Геометричний ряд, де відношення членів є сталою
- Функція Гойна[en], розв'язки ЗДР другого порядку з чотирма регулярними особливими точками
- Функція Горна[en], 34 різні збіжні гіпергеометричні ряди з двома змінними
- Ряд Гумберта[en], 7 гіпергеометричні функції двох змінних
- Гіпергеометричний розподіл, дискретний розподіл ймовірностей
- Гіпергеометрична функція матричного аргументу[en], багатовимірне узагальнення гіпергеометричного ряду
- Функція Кампе де Феріє[en], гіпергеометричний ряд двох змінних
- Гіпергеометричний ряд Лаурічелла[en], гіпергеометричний ряд трьох змінних
- E–функція МакРоберта[en], узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду на випадку
- G-функція Мейєра, узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду на випадку
- Модулярний гіпергеометричний ряд[en], скінченна форма еліптичного гіпергеометричного ряду
- Тета гіпергеометричний ряд[en], спеціальний випадок еліптичного гіпергеометричного ряду
- Конформний блок Вірасоро[en], спеціальна функція в двовимірній конформній теорії поля[en], яка в деяких випадках зводиться до гіпергеометричної функції
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
- Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973
- Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 168895
- Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
- Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4
- Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
- Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. Dover Publications
- Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in German). 39. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-10455-1. MR0668700
- Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007). "Section 6.13. Hypergeometric Functions". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8
- Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
- Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company, Inc.
- Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press
- Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580
- ↑ Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz and Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756
- ↑ а б Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- ↑ Gauss, Carl Friederich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam ". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin). Göttingen. 2.
- ↑ а б Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe