Ортогональні поліноми Ґеґенбауера Відкриті Леопольд Ґеґенбауер Формула C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k ( α ) n − k k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 z ) n − 2 k {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}} Диференціальне рівняння ( 1 − z 2 ) d 2 y ( z ) d z 2 − ( 2 α + 1 ) z d y ( z ) d z + n ( n + 2 α ) y ( z ) = 0 {\displaystyle (1\!-\!z^{2}){d^{2}y(z) \over dz^{2}}\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)z{dy(z) \over dz}\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )y(z)=0} Визначені на [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle \ [-1,+1]} Вага ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 {\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}} Норма 2 1 − 2 α π Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 {\displaystyle {\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}} Примітки
Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми , ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 {\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}} і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева . Їх можна явно записати у вигляді суми
C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k Γ ( n − k + α ) Γ ( α ) k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 z ) n − 2 k = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k ( α ) n − k k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 z ) n − 2 k , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},} де Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} — гамма-функція , ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } позначає цілу частину числа n / 2 {\displaystyle n/2} , а ( ⋅ ) m {\displaystyle (\cdot )_{m}} — символ Похгаммера .
Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження α > − 1 2 {\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}} , хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного α {\displaystyle \alpha } .
Згідно наведено вище означення C n ( 0 ) ( z ) = 0 {\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)=0} і часто у випадку α = 0 {\displaystyle \alpha =0} функцію C n ( 0 ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)} перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями» ).
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі . Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера [1] (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики у Чернівецькому універститеті , на той час — Університеті Франца-Йосифа (нім. Franz-Josephs-Universität ).
Графіки поліномів Ґеґенбауера при α = 1 {\displaystyle \alpha =1} Перші шість поліномів Ґеґенбауера:
C 0 α ( z ) = 1 , C 1 α ( z ) = 2 α z , C 2 α ( z ) = 2 α ( 1 + α ) z 2 − α , C 3 α ( z ) = 4 3 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) z 3 − 2 α ( 1 + α ) z , C 4 α ( z ) = 2 3 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 3 + α ) z 4 − 2 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) z 2 + 1 2 α ( 1 + α ) , C 5 α ( z ) = 4 15 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 3 + α ) ( 4 + α ) z 5 − 4 3 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) ( 3 + α ) z 3 + α ( 1 + α ) ( 2 + α ) z . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(z)&=1,\\C_{1}^{\alpha }(z)&=2\alpha z,\\C_{2}^{\alpha }(z)&=2\alpha (1+\alpha )z^{2}-\alpha ,\\C_{3}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}-2\alpha (1+\alpha )z,\\C_{4}^{\alpha }(z)&={\tfrac {2}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{4}-2\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha (1+\alpha ),\\C_{5}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{15}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )z^{5}-{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{3}+\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z.\end{aligned}}} Мають місце такі співвідношення:
при x = 0 {\displaystyle x=0} C 2 n ( α ) ( 0 ) = ( − 1 ) n ( α ) n ( n ) ! {\displaystyle C_{2n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n}(\alpha )_{n}}{(n)!}}} , C 2 n − 1 ( α ) ( 0 ) = 0 ; {\displaystyle C_{2n-1}^{(\alpha )}(0)=0;} при x = 1 {\displaystyle x=1} C n ( α ) ( 1 ) = ( 2 α ) n n ! ; {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}};} при x = − 1 {\displaystyle x=-1} C n ( α ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( 2 α ) n n ! . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-1)=(-1)^{n}{\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}.} Функція C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} є поліномом степеня n {\displaystyle n} відносно z {\displaystyle z} та α {\displaystyle \alpha } і визначена для довільних z , α ∈ C {\displaystyle z,\alpha \in \mathbb {C} } . Як і всі ортогональні поліноми функція C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} , α > − 1 2 {\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}} , має тільки прості нулі , які всі лежать на відрізку [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} . Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} та C n + 1 ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n+1}^{(\alpha )}(z)} чергуються. Позначимо через x m , m = 1 , … , n , {\displaystyle x_{m},m=1,\ldots ,n,} нулі многочлена C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} розташовані у порядку спадання:
C n ( α ) ( x m ) = 0 , − 1 < x n < x n − 1 < ⋯ < x 1 < 1 , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x_{m})=0,\qquad -1<x_{n}<x_{n-1}<\cdots <x_{1}<1,} Нулі розташовані симетрично x m = − x n − m , m = 1 , … , [ n / 2 ] , {\displaystyle x_{m}=-x_{n-m},m=1,\ldots ,[n/2],} . Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення
x m = cos ( θ m ) , θ 1 < ⋯ < θ m , m = 1 , … , [ n / 2 ] . {\displaystyle x_{m}=\cos(\theta _{m}),\quad \theta _{1}<\cdots <\theta _{m},\quad m=1,\ldots ,[n/2].} Тоді мають місце оцінки:
( m − 1 2 ) π n ≤ θ m ≤ m π n + 1 , m = 1 , … , [ n / 2 ] . {\displaystyle \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{n}}\leq \theta _{m}\leq {\frac {m\pi }{n+1}},\quad m=1,\ldots ,[n/2].} Поліном C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} містить члени лише тієї ж парності, що й саме число n {\displaystyle n} : C n ( α ) ( − z ) = ( − 1 ) n C n ( α ) ( z ) , n = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots .} Поліноми Лежандра P n ( z ) {\displaystyle P_{n}(z)} є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при α = 1 2 {\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}} : P n ( z ) = C n ( 1 / 2 ) ( z ) . {\displaystyle P_{n}(z)=C_{n}^{(1/2)}(z).} У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:
C n ( m + 1 2 ) ( z ) = ∑ k 1 = 0 n ⋯ ∑ k 2 m + 1 = 0 n δ n , l ∏ j = 1 2 m + 1 P k j ( z ) , l = ∑ j = 1 2 m + 1 k j , {\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{2m+1}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{2m+1}P_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{2m+1}k_{j},} де δ n , l {\displaystyle \delta _{n,l}} — символ Кронекера , або через похідну від полінома Лежандра:
C n ( m + 1 2 ) ( z ) = 2 m m ! ( 2 m ) ! d m d z m P n + m ( z ) , m = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)={\frac {2^{m}m!}{(2m)!}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}P_{n+m}(z),\quad m=0,1,2,\ldots .} P n m ( z ) = ( − 1 ) m π Γ ( m + 1 2 ) 2 m ( 1 − z 2 ) m 2 C n − m ( m + 1 2 ) ( z ) . {\displaystyle P_{n}^{m}(z)={\frac {(-1)^{m}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)2^{m}(1-z^{2})^{\tfrac {m}{2}}C_{n-m}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z).} Поліноми Чебишева першого роду T n ( z ) {\displaystyle T_{n}(z)} є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при α → 0 {\displaystyle \alpha \rightarrow 0} : T n ( z ) = n 2 lim α → 0 ( 1 α C n ( α ) ( z ) ) . {\displaystyle T_{n}(z)={\frac {n}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left({\frac {1}{\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).} Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса α = 0 {\displaystyle \alpha =0} , тобто C n ( 0 ) ( z ) := T n ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(0)}(z):=T_{n}(z)} .
Поліноми Чебишева другого роду U n ( z ) {\displaystyle U_{n}(z)} є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при α = 1 {\displaystyle \alpha =1} U n ( z ) = C n ( 1 ) ( z ) . {\displaystyle U_{n}(z)=C_{n}^{(1)}(z).} У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:
C n ( m ) ( z ) = ∑ k 1 = 0 n ⋯ ∑ k m = 0 n δ n , l ∏ j = 1 m U k j ( z ) , l = ∑ j = 1 m k j , m = 1 , 2 , … , {\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{m}U_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{m}k_{j},\quad m=1,2,\ldots ,} де δ n , l {\displaystyle \delta _{n,l}} — символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:
C n ( m ) ( z ) = 2 − m + 1 m ! ( m − 1 ) ! ( n + m ) d m d z m T n + m ( z ) , m = 1 , 2 , … . {\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)={\frac {2^{-m+1}m!}{(m-1)!(n+m)}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}T_{n+m}(z),\quad m=1,2,\ldots .} Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} : H n ( z ) = n ! 2 lim α → 0 ( α − n 2 C n ( α ) ( z α ) ) . {\displaystyle H_{n}(z)={\frac {n!}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left(\alpha ^{-{\tfrac {n}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z}{\sqrt {\alpha }}}\right)\right).} C n ( α ) ( z ) = ( 2 α ) n n ! 2 F 1 ( − n , 2 α + n ; α + 1 2 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , α + 1 2 ≠ − n , n ∈ N , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),\qquad \alpha +{\tfrac {1}{2}}\neq -n,n\in \mathbb {N} ,} C 2 m ( α ) ( z ) = ( − 1 ) m ( α ) m m ! 2 F 1 ( − m , α + m ; 1 2 ; x 2 ) , C 2 m + 1 ( α ) ( z ) = ( − 1 ) m ( α ) m + 1 m ! 2 F 1 ( − m , α + m + 1 ; 3 2 ; x 2 ) . {\displaystyle C_{2m}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m;{\tfrac {1}{2}};x^{2}\right),\qquad C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m+1}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m+1;{\tfrac {3}{2}};x^{2}\right).} Це співвідношення дозволяє розширити означення функції C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу n {\displaystyle n} . Так означена функція C β ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{\beta }^{(\alpha )}(z)} називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального β {\displaystyle \beta } збігається з поліномом Ґеґенбауера.
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі P n ( μ , ν ) ( z ) {\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)} при μ = ν = α − 1 2 {\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}} : C n ( α ) ( z ) = ( 2 α ) n ( α + 1 2 ) n P n ( α − 1 / 2 , α − 1 / 2 ) ( z ) , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z),} де ( ⋅ ) n {\displaystyle (\cdot )_{n}} — символ Похгаммера.
Твірна функція поліномів Ґеґенбауера :
1 ( 1 − 2 z t + t 2 ) α = ∑ n = 0 ∞ C n ( α ) ( z ) t n . {\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.} Вони можуть бути виражені за допомогою формули Родріга
C n ( α ) ( z ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − z 2 ) − α + 1 / 2 d n d z n [ ( 1 − z 2 ) n + α − 1 / 2 ] . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].} Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу n {\displaystyle n} , яке можна застосовувати для знаходження поліномів при n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} :
C 0 ( α ) ( z ) = 1 , C 1 ( α ) ( z ) = 2 α z , C n + 1 ( α ) ( z ) = 1 n + 1 [ 2 z ( n + α ) C n ( α ) ( z ) − ( n + 2 α − 1 ) C n − 1 ( α ) ( z ) ] . {\displaystyle C_{0}^{(\alpha )}(z)=1,\quad C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z,\quad C_{n+1}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n+1}}[2z(n+\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)].} Рекурентне співвідношення по індексу α {\displaystyle \alpha } :
C n ( α + 1 ) ( z ) = 2 α z 2 + 2 n ( z 2 − 1 ) + 4 α − 1 2 α ( z 2 − 1 ) C n ( α ) ( z ) + ( n + 2 α − 2 ) ( n + 2 α − 1 ) 4 α ( α − 1 ) ( z 2 − 1 ) C n ( α − 1 ) ( z ) . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(z)={\frac {2\alpha z^{2}+2n(z^{2}-1)+4\alpha -1}{2\alpha (z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {(n+2\alpha -2)(n+2\alpha -1)}{4\alpha (\alpha -1)(z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z).} Інші формули:
C n ( α ) ( z ) = z C n ( α ) ( z ) + n + 2 α − 2 2 α − 2 C n ( α − 1 ) ( z ) , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=zC_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {n+2\alpha -2}{2\alpha -2}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z),} C n ( α ) ( z ) = ( n + 1 ) z n + 2 α C n + 1 ( α ) ( z ) − 2 α ( z 2 − 1 ) n + 2 α C n ( α + 1 ) ( z ) , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(n+1)z}{n+2\alpha }}C_{n+1}^{(\alpha )}(z)-{\frac {2\alpha (z^{2}-1)}{n+2\alpha }}C_{n}^{(\alpha +1)}(z),} n ( n + 2 α ) C n ( α ) ( z ) − 2 α ( 2 α + 1 ) z C n − 1 ( α + 1 ) ( z ) − 4 α ( α + 1 ) ( z 2 − 1 ) C n − 2 ( α + 2 ) ( z ) = 0. {\displaystyle n(n+2\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-2\alpha (2\alpha +1)zC_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)-4\alpha (\alpha +1)(z^{2}-1)C_{n-2}^{(\alpha +2)}(z)=0.} Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом
d d z C n ( α ) ( z ) = 2 α C n − 1 ( α + 1 ) ( z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)} або у загальному випадку
d m d z m C n ( α ) ( z ) = 2 m ( α ) m C n − m ( α + m ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2^{m}(\alpha )_{m}C_{n-m}^{(\alpha +m)}(z).} Похідна від добутку на вагову функцію
d d z ( ( 1 − z 2 ) α − 1 2 C n ( α ) ( z ) ) = − ( n + 1 ) ( n + 2 α + 1 ) 2 ( α − 1 ) ( 1 − z 2 ) α − 3 2 C n + 1 ( α − 1 ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left((1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right)=-{\frac {(n+1)(n+2\alpha +1)}{2(\alpha -1)}}(1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {3}{2}}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z).} Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру α {\displaystyle \alpha } також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:[6]
d d α C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 n − 1 ( 2 ( 1 + ( − 1 ) n − k ) ( k + α ) ( n + k + 2 α ) ( n − k ) C k ( α ) ( z ) + ( 2 ( k + 1 ) ( k + 2 α ) ( 2 k + 2 α + 1 ) + 2 ( n + k + 2 α ) ) C n ( α ) ( z ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {2(1+(-1)^{n-k})(k+\alpha )}{(n+k+2\alpha )(n-k)}}C_{k}^{(\alpha )}(z)+\left({\frac {2(k+1)}{(k+2\alpha )(2k+2\alpha +1)}}+{\frac {2}{(n+k+2\alpha )}}\right)C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).} Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння , яке називають рівнянням Ґеґенбауера
( 1 − z 2 ) d 2 y ( z ) d z 2 − ( 2 α + 1 ) z d y ( z ) d z + n ( n + 2 α ) y ( z ) = 0. {\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}y(z)}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}y(z)}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )y(z)=0.} Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді
y ( z ) = A C n ( α ) ( z ) + B ( 1 − z 2 ) 1 − 2 α 4 Q n + α − 1 2 1 2 − α ( z ) , {\displaystyle y(z)=AC_{n}^{(\alpha )}(z)+B(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}Q_{n+\alpha -{\tfrac {1}{2}}}^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }(z),} де Q ν μ ( z ) {\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)} — приєднана функція Лежандра другого роду, A , B {\displaystyle A,B} — довільні сталі.
Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови α > − 1 2 {\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}} , − 1 ≤ z ≤ 1 {\displaystyle -1\leq z\leq 1} .
Для заданого α > − 1 2 {\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}} поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [−1,1] с вагою ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 {\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}} , тобто (при n ≠ m {\displaystyle n\neq m} ),
∫ − 1 1 C n ( α ) ( z ) C m ( α ) ( z ) ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 d z = 0 , {\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0,} причому виконується умова нормування
‖ C n ( α ) ( z ) ‖ 2 = ∫ − 1 1 [ C n ( α ) ( z ) ] 2 ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 d z = 2 1 − 2 α π Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 . {\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}=\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.} Як наслідок, функції
ψ n α ( z ) := 2 1 2 − α π Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) n ! ( n + α ) ( 1 − z 2 ) 1 − 2 α 4 C n ( α ) ( z ) , n = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle \psi _{n}^{\alpha }(z):={\frac {2^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }{\sqrt {\pi \Gamma (n+2\alpha )}}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {n!(n+\alpha )}}}}(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots ,} утворюють ортонормований базис у просторі L 2 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle L^{2}[-1,1]} . Довільна функція f ( z ) ∈ L 2 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle f(z)\in L^{2}[-1,1]} може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій { ψ n α ( z ) } n = 0 ∞ {\displaystyle \{\psi _{n}^{\alpha }(z)\}_{n=0}^{\infty }} :
f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f k ψ k α ( z ) , f k = ∫ − 1 1 f ( z ) ψ k α ( z ) d z . {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}\psi _{k}^{\alpha }(z),\quad f_{k}=\int _{-1}^{1}f(z)\psi _{k}^{\alpha }(z)dz.} Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега L w 2 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]} :
L w 2 [ − 1 , 1 ] := { f ( z ) : ∫ − 1 1 f 2 ( z ) w ( z ) d z < ∞ } , w ( z ) = ( 1 − z 2 ) α − 1 / 2 , {\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]:=\left\{f(z):\int _{-1}^{1}f^{2}(z)w(z)dz<\infty \right\},\quad w(z)=(1-z^{2})^{\alpha -1/2},} за формулами:
f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f k C k ( α ) ( z ) , f k = 1 N k ∫ − 1 1 f ( z ) C k ( α ) ( z ) d z , N k = 2 1 − 2 α π Γ ( k + 2 α ) k ! ( k + α ) [ Γ ( α ) ] 2 . {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad f_{k}={\tfrac {1}{N_{k}}}\int _{-1}^{1}f(z)C_{k}^{(\alpha )}(z)dz,\quad N_{k}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (k+2\alpha )}{k!(k+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.} sgn ( z ) = 4 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( α ) k ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 α + 1 ) k ! C 2 k + 1 ( α ) ( z ) N 2 k + 1 , {\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{k}}{(2k+1)(2k+2\alpha +1)k!}}{\frac {C_{2k+1}^{(\alpha )}(z)}{N_{2k+1}}},} де sgn ( z ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(z)} — функція знаку .
( 1 − z ) β = 2 2 α + β π Γ ( α ) Γ ( α + β + 1 2 ) ∑ k = 0 ∞ ( k + α ) ( − β ) k Γ ( k + 2 α + β + 1 ) C k ( α ) ( z ) , − β < ( α + 1 ) / 2 , при α > 0 ; − β < 1 2 + α , при − 1 2 < α < 0. {\displaystyle (1-z)^{\beta }={\frac {2^{2\alpha +\beta }}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (\alpha )\Gamma \left(\alpha +\beta +{\tfrac {1}{2}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+\alpha )(-\beta )_{k}}{\Gamma (k+2\alpha +\beta +1)}}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad -\beta <(\alpha +1)/2,\,{\text{при}}\,\alpha >0;\quad -\beta <{\tfrac {1}{2}}+\alpha ,\,{\text{при}}\,-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0.} Двовимірні розвинення:
exp ( i x y ) = Γ ( α ) ( y 2 ) − α ∑ k = 0 ∞ i k ( k + α ) J k + α ( y ) C k ( α ) ( x ) , α > 0 , {\displaystyle \exp(ixy)=\Gamma (\alpha )\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{-\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }i^{k}(k+\alpha )J_{k+\alpha }(y)C_{k}^{(\alpha )}(x),\quad \alpha >0,} де J n ( y ) {\displaystyle J_{n}(y)} — функція Бесселя першого роду.
( 1 − x 2 ) 1 − 2 α 4 ( 1 − y 2 ) 1 − 2 α 4 = Γ 2 ( α ) π 2 1 − 2 α ∑ k = 0 ∞ k ! ( k + α ) Γ ( k + 2 α ) C k ( α ) ( x ) C k ( α ) ( y ) . {\displaystyle (1-x^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}(1-y^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}={\frac {\Gamma ^{2}(\alpha )}{\pi 2^{1-2\alpha }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!(k+\alpha )}{\Gamma (k+2\alpha )}}C_{k}^{(\alpha )}(x)C_{k}^{(\alpha )}(y).} Поліноми Ґеґенбауера C n ( α ) ( z ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)} можна записати у вигляді суми по степенях z {\displaystyle z} або α {\displaystyle \alpha } за відповідними формулами:
C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k ( α ) n − k k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 z ) n − 2 k , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},} C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 1 n ∑ j = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k + n ( 2 z ) n − 2 j s ( n − j , k ) j ! ( n − 2 j ) ! α k , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k+n}(2z)^{n-2j}s(n-j,k)}{j!(n-2j)!}}\alpha ^{k},} де s ( n − j , k ) {\displaystyle s(n-j,k)} — числа Стірлінга першого роду .
Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} буде скінчення сума:
C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 n 2 k ( α ) k k ! C n − k ( α + k ) ( z 0 ) ( z − z 0 ) k . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(\alpha )_{k}}{k!}}C_{n-k}^{(\alpha +k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}.} Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:
через інтеграл по дійсній змінній:
C n ( α ) ( z ) = 2 1 − 2 α π Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 ∫ 0 π ( z + cos t ⋅ z 2 − 1 ) n ( sin t ) 2 α − 1 d t , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\int _{0}^{\pi }(z+\cos t\cdot {\sqrt {z^{2}-1}})^{n}(\sin t)^{2\alpha -1}dt,} через контурний інтеграл:
C n ( α ) ( z ) = 1 2 π i ∫ γ d u u n + 1 ( 1 − 2 z u + u 2 ) α , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {du}{u^{n+1}(1-2zu+u^{2})^{\alpha }}},} де γ {\displaystyle \gamma } — довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.
Ряд інших інтегральних тотожностей:
∫ C n ( α ) ( z ) d z = 1 2 ( α − 1 ) C n + 1 ( α − 1 ) ( z ) + C , {\displaystyle \int C_{n}^{(\alpha )}(z)dz={\frac {1}{2(\alpha -1)}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z)+C,} ∫ C n ( 3 2 ) ( z ) d z = P n + 1 ( z ) + C , ∫ C n ( 2 ) ( z ) d z = 1 2 U n + 1 ( z ) + C , {\displaystyle \int C_{n}^{({\tfrac {3}{2}})}(z)dz=P_{n+1}(z)+C,\quad \int C_{n}^{(2)}(z)dz={\tfrac {1}{2}}U_{n+1}(z)+C,} ∫ ( 1 − z 2 ) α − 1 2 C n ( α ) ( z ) d z = − 2 α ( 1 − z 2 ) α + 1 2 n ( n + 2 α ) C n − 1 ( α + 1 ) ( z ) + C . {\displaystyle \int (1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)dz=-{\frac {2\alpha (1-z^{2})^{\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}{n(n+2\alpha )}}C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)+C.} Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра α {\displaystyle \alpha } та змінної z {\displaystyle z} :[6]
C n ( α ) ( z ) ≈ 2 n π Γ ( α + 1 2 ) Γ ( α ) Γ ( 1 − n 2 ) n ! ( 1 + O ( z ) ) ; C n ( α ) ( z ) ≈ Γ ( 2 α + n ) Γ ( 2 α ) n ! ( 1 + O ( z − 1 ) ) , − α − 1 2 ≠ N ; {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma ({\tfrac {1-n}{2}})n!}}(1+O(z));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}(1+O(z-1)),\quad -\alpha -{\tfrac {1}{2}}\neq \mathbb {N} ;} C n ( α ) ( z ) ≈ ( − 1 ) n ( 2 α ) n n ! ( 1 + O ( z + 1 ) ) ; C n ( α ) ( z ) ≈ 2 n z n ( α ) n n ! ( 1 + O ( 1 z 2 ) ) ; {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(-1)^{n}(2\alpha )_{n}}{n!}}(1+O(z+1));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}z^{n}(\alpha )_{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{z^{2}}}\right)\right);} C n ( α ) ( z ) ≈ C n ( 0 ) ( z ) α ( 1 + O ( α ) ) , n > 0 ; C n ( α ) ( z ) ≈ ( 2 z ) n α n n ! ( 1 + O ( 1 α ) ) . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx C_{n}^{(0)}(z)\alpha (1+O(\alpha )),\quad n>0;\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(2z)^{n}\alpha ^{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{\alpha }}\right)\right).} Справедливі такі оцінки:
max − 1 ≤ z ≤ 1 | C n ( α ) ( z ) | = C n ( α ) ( 1 ) = ( 2 α ) n n ! , α > 0 {\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{n}^{(\alpha )}(z)|=C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},\quad \alpha >0} max − 1 ≤ z ≤ 1 | C 2 m ( α ) ( z ) | = | C 2 m ( α ) ( 0 ) | = | ( α ) m m ! | , − m < α < 0 , α ≠ Z , {\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m}^{(\alpha )}(z)|=|C_{2m}^{(\alpha )}(0)|=\left|{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\right|,\quad -m<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,} max − 1 ≤ z ≤ 1 | C 2 m + 1 ( α ) ( z ) | < 2 | ( α ) m + 1 | m ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 α + 1 ) , − m − 1 2 < α < 0 , α ≠ Z , {\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)|<{\frac {2|(\alpha )_{m+1}|}{m!{\sqrt {(2m+1)(2m+2\alpha +1)}}}},\quad -m-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,} ( 1 − z 2 ) α | C n ( α ) ( z ) | < ( n 2 ) α 1 Γ ( α ) , 0 < α < 1 , z ∈ [ − 1 , 1 ] . {\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha }|C_{n}^{(\alpha )}(z)|<\left({\frac {n}{2}}\right)^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}},\quad 0<\alpha <1,\quad z\in [-1,1].} При z ≥ − 1 , α ≥ 1 / 4 {\displaystyle z\geq -1,\,\alpha \geq 1/4} справедлива наступна нерівність:
∑ j = 0 n C j ( α ) ( z ) ( 2 α + j − 1 j ) ≥ 0 , ( 2 α + j − 1 j ) = ( 2 α + j − 1 ) ( 2 α + j − 2 ) ( 2 α + j − 3 ) ⋯ ( 2 α ) j ( j − 1 ) ( j − 2 ) ⋯ 1 . {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{(\alpha )}(z)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0,\qquad {2\alpha +j-1 \choose j}={\frac {(2\alpha +j-1)(2\alpha +j-2)(2\alpha +j-3)\cdots (2\alpha )}{j(j-1)(j-2)\cdots 1}}.} Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута[ ред. | ред. код ] Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута θ {\displaystyle \theta } може бути представлений у вигляді суми
C n ( α ) ( cos θ ) = ∑ k = 0 n ( α ) k ( α ) n − k k ! ( n − k ) ! cos ( ( n − 2 k ) θ ) , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-k)!}}\cos((n-2k)\theta ),} або через інтеграл від дійсного параметра:
C n ( α ) ( cos θ ) = 2 α Γ ( α + 1 2 ) ( 2 α ) n n ! Γ ( α ) p i ∫ 0 θ cos ( ( n + α ) ϕ ) ( cos ϕ − cos θ ) 1 − α d ϕ . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )={\frac {2^{\alpha }\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})(2\alpha )_{n}}{n!\Gamma (\alpha ){\sqrt {pi}}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos((n+\alpha )\phi )}{(\cos \phi -\cos \theta )^{1-\alpha }}}d\phi .} Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.
При повороті точки заданої в сферичній системі координатами ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} на кут нутації β {\displaystyle \beta } новий кут θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} визначається рівністю
cos θ ′ = cos θ cos β + sin θ sin β cos φ . {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos \varphi .} Справедлива формула додавання:
C n ( α ) ( cos θ ′ ) = ∑ k = 0 n ( α ) k ( n − k ) ! ( α + 1 2 ) k ( 2 k + 2 α ) n − k sin k θ sin k β C n − k ( α + k ) ( cos θ ) C n − k ( α + k ) ( cos β ) C k ( α + 1 2 ) ( cos φ ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta ^{\prime })=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}\sin ^{k}\theta \,\sin ^{k}\beta \,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \theta )\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \beta )\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\cos \varphi )} або
C n ( α ) ( x y + γ ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 ) ) = ∑ k = 0 n ( α ) k ( n − k ) ! ( α + 1 2 ) k ( 2 k + 2 α ) n − k ( 1 − x 2 ) k / 2 ( 1 − y 2 ) k / 2 C n − k ( α + k ) ( x ) C n − k ( α + k ) ( y ) C k ( α + 1 2 ) ( γ ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}\left(xy+\gamma {\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}(1-x^{2})^{k/2}\,(1-y^{2})^{k/2}\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(y)\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\gamma )} після заміни x = cos θ , y = cos β , γ = cos φ {\displaystyle x=\cos \theta ,y=\cos \beta ,\gamma =\cos \varphi } .
Симетрія відносно операції комплексного спряження :
C n ( α ¯ ) ( z ¯ ) = C n ( α ) ( z ) ¯ . {\displaystyle C_{n}^{({\bar {\alpha }})}({\bar {z}})={\overline {C_{n}^{(\alpha )}(z)}}.} Якщо z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , де x {\displaystyle x} і y {\displaystyle y} — дійсні змінні ( α {\displaystyle \alpha } також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:
R e [ C n ( α ) ( x + i y ) ] = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k 2 2 k ( α ) 2 k ( 2 k ) ! C n − 2 k ( 2 k + α ) ( x ) y 2 k , {\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},} I m [ C n ( α ) ( x + i y ) ] = ∑ k = 0 ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ ( − 1 ) k 2 2 k + 1 ( α ) 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! C n − 2 k − 1 ( 2 k + α + 1 ) ( x ) y 2 k + 1 . {\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.} Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі . А саме, ньютонівський потенціал в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} допускає такий розклад:
1 | x − y | n − 2 = ∑ k = 0 ∞ | x | k | y | k + n − 2 C k ( α ) ( x ⋅ y ) , α = n − 2 2 , x ⋅ y = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n , x , y ∈ R n . {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ),\qquad \alpha ={\frac {n-2}{2}},\quad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}.} Зокрема, при n = 3 {\displaystyle n=3} ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.
Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).
Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини n {\displaystyle n} -вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:
Y l ( Θ ) = e i m n − 1 θ n − 1 ∏ k = 1 n − 2 sin m k ( θ k ) C m k − 1 − m k ( m k + ( n − k ) / 2 ) ( cos θ k ) , {\displaystyle Y_{l}(\Theta )=e^{im_{n-1}\theta _{n-1}}\prod _{k=1}^{n-2}\sin ^{m_{k}}(\theta _{k})C_{m_{k-1}-m_{k}}^{(m_{k}+(n-k)/2)}(\cos \theta _{k}),} де Θ = ( θ 1 , … , θ n − 1 ) {\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})} — кутові координати в n {\displaystyle n} -вимірній сферичній системі координат,
m 1 = l , l ≥ m 2 ≥ m 3 ≥ … ≥ m n − 1 ≥ 0 , l = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle m_{1}=l,\quad l\geq m_{2}\geq m_{3}\geq \ldots \geq m_{n-1}\geq 0,\quad l=0,1,2,\ldots .} Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню :
ϕ ( p , ϑ p , φ p ) = 2 π ( n − l − 1 ) ! ( n + l ) ! n 2 2 2 l + 2 l ! n l p l ( n 2 p 2 + 1 ) l + 2 C n − l − 1 ( l + 1 ) ( n 2 p 2 − 1 n 2 p 2 + 1 ) Y l m ( ϑ p , φ p ) , {\displaystyle \phi (p,\vartheta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-l-1)!}{(n+l)!}}}}n^{2}2^{2l+2}l!{\frac {n^{l}p^{l}}{(n^{2}p^{2}+1)^{l+2}}}C_{n-l-1}^{(l+1)}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{l}^{m}({\vartheta _{p},\varphi _{p}}),} де p {\displaystyle p} — одиниці ℏ / a 0 ∗ {\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}} , a 0 ∗ {\displaystyle a_{0}^{*}} — радіус Бора атома водню, Y l m {\displaystyle Y_{l}^{m}} — сферичні гармоніки .
Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} .
Суетин П. К . Классические ортогональные многочлены. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7 . Виленкин Н. Я . Специальные функции и теория представления групп. — 2-е изд., исправ. — М. : Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6 . Бейтмен Г., Эрдейи А . Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions [en] , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Див. Chapter 22 [Архівовано 19 вересня 2009 у Wayback Machine .] Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9 .