Звичайні диференціальні рівняння — Вікіпедія

Звичайні диференціальні рівняння — диференціальні рівняння вигляду

де  — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку

[ред. | ред. код]

Звича́йним диференціальним рівня́нням пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду

де  — незалежна змінна,  — невідома функція від змінної ,  — похідна функції, а  — задана функція, яка визначена в деякій області простору .

Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію , , яка задовольняє такі умови:

  1. ( неперервно диференційована на );
  2. ;
  3. .

Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію від незалежної змінної та параметра , яка задовольняє умову:

  • для будь-якого конкретного (допустимого) значення параметра функція від змінної , що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто, ), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку має таку властивість:

  • який би не був розв'язок , , звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення параметра таке, що , ,

то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).

Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну , тобто рівняння записане як , то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді

де задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.

Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:

Рівняння з відокремлюваними змінними

[ред. | ред. код]

Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:

відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.

Однорідні рівняння

[ред. | ред. код]

Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.

Такі рівняння заміною змінних зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції

Лінійні рівняння першого порядку

[ред. | ред. код]

Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли є лінійною функцією за сукупністю змінних називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді

Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою

з якої, поклавши , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.

Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді

називається рівнянням Бернуллі. Заміною змінних рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння відносно .

Пониження порядку диференціальних рівнянь

[ред. | ред. код]

Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

[ред. | ред. код]

Вводячи змінні , , , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Методи розв'язання

[ред. | ред. код]

Аналітичні

[ред. | ред. код]

Чисельні

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
  • Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; Бурим В.М. (2004). Диференціальні та інтегральні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 407. ISBN 966-06-0348-7.(укр.)
  • Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.(укр.)
  • Pontryagin, Lev (1962). Ordinary Differential Equations (PDF). Adiwes International Series in Mathematics. Pergamon Press. Архів оригіналу (PDF) за 13 липня 2020. Процитовано 13 липня 2020. (англ.)
  • Понтрягін Л. С. (1974). Обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF). М. с. 331.(рос.)
  • Арнольд В. И. (2014). Обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF). М: МЦНМО. с. 341. ISBN 978-5-4439-2007-8.(рос.)
  • Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)