Рівняння Гамільтона — Якобі — Вікіпедія
Класична механіка |
---|
Історія класичної механіки |
Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність |
Основні принципи |
Важливі теми |
Формулювання |
Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.
Рівняння формулюється так:
- .
Тут — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами і узагальненими імпульсами , де пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи .
— це функція узагальнених координат і часу, яка має розмірність дії.
Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції . Його розв'язок залежить від параметрів інтегрування, які можна позначити . Запишемо цей розв'язок у вигляді . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:
де — це ще нових параметрів інтегрування.
Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:
- ,
де с — швидкість світла в порожнечі
У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду
- .
Метрика простору-часу визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.
Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.
Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
- Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
- Лич Дж. У. Классическая механика. — М. : ИЛ, 1961. — 174 с.