Принцип найменшої дії — Вікіпедія
Класична механіка |
---|
Історія класичної механіки |
Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність |
Основні принципи |
Важливі теми |
Формулювання |
При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що з усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.
Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.
У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона — Остроградського, дія дорівнює
- ,
де — функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу .
У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії використовують функцію Лагранжа:
- ,
де є узагальнені координати a є узагальнені імпульси.
Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:
де означає редуковану (скорочену) дію.
Варіація функціоналу дії дає:
Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:
тому варіація редукованої дії буде:
- ,
де є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретного шляху , тобто , тому узагальнений імпульс можна переписати як:
Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:
Оскільки швидкість переміщення по шляху є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:
Таким чином, траєкторія руху системи залежить від повної енергії . Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа , тоді підінтегральна функція приймає вигляд:
де i залежні від .
Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:
оскільки кінетична енергія рівна постійній повній енергії мінус потенціальній енергії .
Дія дорівнює
- .
Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.
Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.
Робиться це таким чином.
Спочатку розглядається довільна траєкторія . Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії , таке, щоб . Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.
- .
Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.
Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.
Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)
- ,
справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.
Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандартним методом виведення диференційних рівнянь з інтегральних законів.
- Принцип Гамільтона-Остроградського в електромеханічних системах: [монографія] / А. Чабан; Політехніка Ченстоховська, Нац. ун-т «Львів. політехніка», Львів. нац. аграр. ун-т. — Львів: Вид-во Т. Сороки, 2015. — 463 c. — Бібліогр.: с. 450—455.
- W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308 [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]; Part II (1835) p. 95—144 [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805—1865): Mathematical Papers [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.] edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.])