Вихованець херсонського футболу. Професійні виступи розпочав за місцевий «Кристал» у 1989 році. 1991 року перейшов до дніпропетровського «Дніпра», у складі якого наступного року дебютував у матчах вищої ліги чемпіонату України. Під час зимового міжсезоння сезону 1994-95 перейшов до київського «Динамо», у складі якого протягом трьох сезонів поспіль ставав чемпіоном України.
Прощальний матч Максимова пройшов 6 жовтня 2009 року на стадіоні «Кристал» в Херсоні в присутності 7 тисяч глядачів. У ньому взяли участь команда «Друзі Юрія Максимова» та збірна ветеранів херсонського «Кристалу». Зустріч закінчилася з рахунком 4:2 на користь «друзів»[3][4].
Всього у Вищій лізі чемпіонату України провів 166 матчів, забив 48 голів; у першій німецькій Бундеслізі зіграв 69 матчів, забив 9 м'ячів; у другій німецькій Бундеслізі провів 27 ігор, забив 3 голи; у російській Прем'єр-лізі зіграв 18 матчів, забив 2 голи.
Виступав за збірну України. У дебютному матчі за головну команду України 28 жовтня 1992 року проти збірної Білорусі Максимов вийшов на заміну та відзначився забитим голом. Усього у складі збірної України провів 27 матчів та забив 5 м'ячів.
Після завершення ігрової кар'єри перейшов на тренерську роботу, розпочавши з позиції другого тренера мінського «Динамо». Дебютував на позиції головного тренера у київському ЦСКА.
З 2008 року — головний тренер «Оболоні». Під його керівництвом команда в сезоні 2008-09 зайняла 2-ге місце у розіграші Першої ліги Чемпіонату, чим забезпечила перехід до елітного дивізіону національної першості.
Протягом осінньої частини сезону 2009—2010 «Оболонь» виступала досить вдало і на зимову перерву команда пішла, займаючи 8-ме місце у турнірній таблиці вищої ліги. У січні 2010 Максимов залишив клуб і переїхав до Кривого Рогу, де очолив місцевий «Кривбас», перед яким стояло завдання збереження місця в елітному дивізіоні українського футболу. Під керівництвом Максимова команда, яка після перших 17 турів мала в активі лише 7 очок, змогла у 13 турах, що лишалися, набрати 18 очок та забезпечити собі 14-у позицію у фінальній турнірній таблиці першості. З посади головного тренера «Кривбаса» був звільнений у червні 2012 року[5].
Вже в серпні того ж року призначений головним тренером донецького «Металурга»[6]. У серпні 2013 року після програшу донецького «Металурга» албанському «Кукесі» був звільнений з посту головного тренера донецької команди[7], після чого підписав контракт з російським клубом «Мордовія» з Саранська[8], яку за підсумками сезону 2013/2014 вивів до РПЛ з першого місця у турнірній таблиці.
З 2015 року мав працювати головним тренером мінського «Динамо», де свого часу розпочав кар'єру тренера[9], але контракт так і не був підписаний.
26 грудня2017 року було оголошено, що Максимов став головним тренером азербайджанського клубу «Кешла» (Баку). Контракт був підписаний до кінця сезону, а умовою його продовження було місце у єврокубках, при цьому його команда займала передостаннє місце. Але Максимов вивів «Кешлю» в Лігу Європи — у фіналі Кубку Азербайджану його команда перемогла «Габалу» Романа Григорчука. Юрій Максимов став першим українським тренером, який тріумфував у Кубку Азербайджану.
15 листопада2019 року полтавська «Ворскла» оголосила про призначення Максимова головним тренером першої команди[11]. В тому ж сезоні він привів полтавців до фіналу Кубка України 2019/20. 31 травня 2022 року «Ворскла» оголосила про завершення терміну контракту з Юрієм Максимовим.