Тета-функції — цілі функції комплексної змінної (можливо залежні від додаткових параметрів), що є квазідвоперіодичними, тобто крім періоду ω {\displaystyle \omega } ω τ {\displaystyle \omega \tau }
Особливо велике значення мають тета-функції Якобі — чотири тета-функції залежні від параметра τ {\displaystyle \tau } еліптичних функцій , модулярних форм і інших.
Тета-функцією θ ( z ) {\displaystyle \theta (z)}
θ ( z + ω ) = θ ( z ) , θ ( z + ω τ ) = ϕ ( z ) θ ( z ) . {\displaystyle \theta (z+\omega )=\theta (z),\;\;\theta (z+\omega \tau )=\phi (z)\theta (z).}
Як періодична ціла функція, θ ( z ) {\displaystyle \theta (z)}
θ ( z ) = ∑ n ∈ Z c n exp ( 2 π i n ω ) . {\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\exp \left({\frac {2\pi in}{\omega }}\right).}
Дані ряди називаються тета-рядами .
На практиці найважливішими є мультиплікатори виду
ϕ ( z ) = q exp ( 2 π i k z ) , {\displaystyle \phi (z)=q\exp(2\pi ikz),}
де k — натуральне число, що називається порядком або вагою тета-функції, q — числовий множник .
Основною тета-функцією Якобі називається функція двох комплексних змінних , що за означенням рівна
ϑ ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i n 2 τ + 2 π i n z {\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}} Даний ряд є нормально збіжним на множині C × H {\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} } H = { z ∈ C | ℑ ( z ) > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} |\Im (z)>0\}} τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ϑ ( ⋅ , τ ) {\displaystyle \vartheta (\cdot ,\tau )} цілою функцією , для всіх z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ϑ ( z , ⋅ ) {\displaystyle \vartheta (z,\cdot )} голоморфною на множині H {\displaystyle \mathbb {H} }
Через основну тета-функцію Якобі можна ввести ще три тета-функції:
ϑ 0 ( z , τ ) := ϑ 0 , 1 ( z , τ ) := ϑ ( z + 1 2 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ⋅ e π i n 2 τ + 2 π i n z {\displaystyle \vartheta _{0}(z,\tau ):=\vartheta _{0,1}(z,\tau ):=\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}} ϑ 2 ( z , τ ) := ϑ 1 , 0 ( z , τ ) := e π i τ 4 + π i z ⋅ ϑ ( z + τ 2 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i ( n + 1 2 ) 2 τ + 2 π i ( n + 1 2 ) z {\displaystyle \vartheta _{2}(z,\tau ):=\vartheta _{1,0}(z,\tau ):=e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi iz}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}} ϑ 1 ( z , τ ) := ϑ 1 , 1 ( z , τ ) := e π i τ 4 + π i ( z + 1 2 ) ⋅ ϑ ( z + τ + 1 2 , τ ) = i ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ⋅ e π i ( n + 1 2 ) 2 τ + 2 π i ( n + 1 2 ) z {\displaystyle \vartheta _{1}(z,\tau ):=\vartheta _{1,1}(z,\tau ):=e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi i\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau +1}{2}},\tau \right)=i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}} В цих позначеннях ϑ ( z , τ ) := ϑ 3 ( z , τ ) := ϑ 0 , 0 ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\vartheta _{3}(z,\tau ):=\vartheta _{0,0}(z,\tau )}
Для значення z = 0 {\displaystyle z=0}
ϑ ( τ ) := ϑ ( 0 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i n 2 τ = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ e π i n 2 τ {\displaystyle \vartheta (\tau ):=\vartheta (0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }} Означення тета-функцій можна дати не лише в термінах змінних z і τ , але і в змінних w і нома q , де w = e πiz q = e πiτ
ϑ 00 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( w 2 ) n q n 2 ϑ 01 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( w 2 ) n q n 2 ϑ 10 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( w 2 ) n + 1 2 q ( n + 1 2 ) 2 ϑ 11 ( w , q ) = i ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( w 2 ) n + 1 2 q ( n + 1 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}} Ці фомули можна використати для означень тета-функцій в полях де експоненційне відображення може не бути всюди визначеним, наприклад в полях p-адичних чисел .
Для фіксованого τ тета-функції Якобі є періодичними з періодами 1 або 2 і квазіперіодичними щодо періоду τ , а саме для всіх z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
ϑ 00 ( z ± 1 ; τ ) = ϑ 00 ( z ; τ ) , ϑ 00 ( z ± τ ; τ ) = exp ( − π i τ ∓ 2 π i z ) ϑ 00 ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{00}(z\pm 1;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{00}(z\pm \tau ;\tau )=\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{00}(z;\tau ).} ϑ 01 ( z ± 1 ; τ ) = ϑ 01 ( z ; τ ) , ϑ 01 ( z ± τ ; τ ) = − exp ( − π i τ ∓ 2 π i z ) ϑ 01 ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{01}(z\pm 1;\tau )=\vartheta _{01}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{01}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{01}(z;\tau ).} ϑ 10 ( z ± 1 ; τ ) = − ϑ 10 ( z ; τ ) , ϑ 10 ( z ± τ ; τ ) = exp ( − π i τ ∓ 2 π i z ) ϑ 10 ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{10}(z\pm 1;\tau )=-\vartheta _{10}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{10}(z\pm \tau ;\tau )=\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{10}(z;\tau ).} ϑ 11 ( z ± 1 ; τ ) = − ϑ 11 ( z ; τ ) , ϑ 11 ( z ± τ ; τ ) = − exp ( − π i τ ∓ 2 π i z ) ϑ 11 ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z\pm 1;\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{11}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{11}(z;\tau ).} Тобто для фіксованого τ тета-функції Якобі є тета-функціями, згідно означення загальної тета-функції.
Для тета-функцій Якобі справедливими є інтегральні представлення:
ϑ 00 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π u ) sin ( π u ) d u ; ϑ 01 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z ) sin ( π u ) d u ; ϑ 10 ( z ; τ ) = − i e i z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π u + π τ u ) sin ( π u ) d u ; ϑ 11 ( z ; τ ) = e i z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π τ u ) sin ( π u ) d u . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}} Для фіксованого τ тета-функції Якобі:
ϑ 00 ( z , τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 + τ 2 ϑ 11 ( z , τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ ϑ 10 ( z , τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 ϑ 01 ( z , τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + τ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}} де m , n — довільні цілі числа .
Рівності Якобі визначають поведінку тета-функцій Якобі під впливом дії модулярної групи , породженої перетвореннями τ ↦ τ + 1τ ↦ −1 / τ τ має такий же ефект на значення функції, як додавання 1 / 2 z .
Для визначення впливу другого перетворення позначимо
α = ( − i τ ) 1 2 exp ( π τ i z 2 ) . {\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).} Тоді
ϑ 00 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 00 ( z ; τ ) ϑ 01 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 10 ( z ; τ ) ϑ 10 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 01 ( z ; τ ) ϑ 11 ( z τ ; − 1 τ ) = − i α ϑ 11 ( z ; τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}} Формула добутку ϑ 00 ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − exp ( 2 m π i τ ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i z ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i z ) ) . {\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.} Всі тета-функції Якобі задовольняють диференціальному рівнянню ∂ ∂ t ϑ ( x , i t ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x , i t ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).} Зв'язок з еліптичною функцією Вейєрштраса ℘ ( z ; τ ) = − ( log ϑ 11 ( z ; τ ) ) ″ + c {\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c} z і константа c вибирається так щоб розклад ℘(z ) в ряд Лорана в точці z = 0 Зв'язок з дзета функцією Рімана : Γ ( s 2 ) π − s 2 ζ ( s ) = 1 2 ∫ 0 ∞ ( ϑ 00 ( 0 ; i t ) − 1 ) t s 2 d t t . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta _{00}(0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}.} Зв'язок з ета функцією Дедекінда. Нехай η (τ ) ϑ 10 ( 0 ; τ ) = 2 η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) , ϑ 00 ( 0 ; τ ) = η 5 ( τ ) η 2 ( 1 2 τ ) η 2 ( 2 τ ) = η 2 ( 1 2 ( τ + 1 ) ) η ( τ + 1 ) , ϑ 01 ( 0 ; τ ) = η 2 ( 1 2 τ ) η ( τ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}} ϑ 10 ( 0 ; τ ) ϑ 00 ( 0 ; τ ) ϑ 01 ( 0 ; τ ) = 2 η 3 ( τ ) . {\displaystyle \vartheta _{10}(0;\tau )\,\vartheta _{00}(0;\tau )\,\vartheta _{01}(0;\tau )=2\eta ^{3}(\tau ).} Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions ISBN 0-486-61272-4 Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions . AMS Translations of Mathematical Monographs. Т. 79. Providence, RI: AMS. ISBN 0-8218-4532-2 Bellman, Richard (1961). A Brief Introduction to Theta Functions Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 4th). Oxford: Clarendon Press. Mumford, David (1983). Tata Lectures on Theta I ISBN 3-7643-3109-7 Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces ISBN 0-683-07196-3 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (вид. 4th). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. 
French
Deutsch
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db65827472877657a7aa66887c63a13ecd71483a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64804e9cd7ac2b0dbe01eb172d0eaeb0289601a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8a7fc67fd6d672baf39c26addc314877ead716)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38521d263e968c6643113cb856744c3d8417638)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5c40f971e936d98f88a6f5283304e698c5488a)
