幾何學中,三維點群是三維空間中,任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是,其為球面的對稱群。此類群皆為正交群
的子群,即固定原點的全體等距同構組成的群,亦可視為全體正交矩陣的乘法群。
本身則是全體等距同構的歐氏群
的子群。
立體的對稱群必由等距同構組成,反之,要分析等距對稱構成的群,就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構,必存在共同的不動點,不妨設其中之一為原點。
立體的對稱群,有時稱為全體對稱群作強調,用以突顯與旋轉群(或真對稱群)的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群
之交。立體的旋轉群等於全體對稱群,當且僅當立體具手性。
三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱,及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下,也稱分子對稱群。
有限考克斯特群是一族特殊的點群,僅由過原點的若干個鏡射生成。
階考克斯特群是由
個鏡射生成,可以考克斯特-丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述,並設有其他標記,用以表示旋轉群或其他子群。
是直接歐氏群
的子群,其元素皆是直接等距同構,即保持定向的等距變換。
僅含保持原點不變的直接等距同構。
則是
與點反演生成的群
的直積:(此處點反演以其矩陣
表示,即單位矩陣
乘上
。)
![{\displaystyle O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ebd0fd3b7a0fc21078782e363fb0471f5cf197)
所以,三維空間中,藉點反演,可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應,此外,
中僅由直接等距變換組成的子群
(必包含在
中,亦與
中含有點反演的子群
一一對應。對應關係如下:
![{\displaystyle K=H\times \{I,-I\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7038cf00582e699d882b416101b1373718d3e4)
![{\displaystyle H=K\cap SO(3).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e7bdae53704f51032aff2f37c78cdfbb2e4805)
例如,若
為
,則
為
;若
為
,則
為
。(定義載於下文。)
若直接等距同構群
有指數為
的子群
,則除以上含點反演的子群外,還有另一個對應的子群
![{\displaystyle M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353e356a400d2b7aed8e0386ab41d5272b7dc7c4)
含有間接等距變換,但不含點反演。式中
與
視為等同。舉例
為
,而
為
。
換言之,
是將
中的變換,乘上
得到。此群
作為抽象群與
同構。反之,任意對稱群,若有間接等距變換,但無點反演,則可以將所有間接變換反演,而變成旋轉群。等距群的分類(見下文)中,可以用此性質化簡問題。
二維情況下,
重旋轉的循環群
皆是
和
的正規子群。在三維中,固定旋轉軸,則相應有繞該軸的
重循環群
,是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外,由於指數為
的子群必正規,
在
中正規,也在
中正規。此處
是向
添加過旋轉軸的反射面生成,而
則是向
添加與軸垂直的反射面生成。
的等距變換中,固定原點的變換,組成正交群
,簡記為
。其元素分類如下:
- 子群
中: - 單位(恆等變換);
- 繞過原點某軸的旋轉,且角度不為
; - 繞過原點某軸的旋轉,且角度為
;
- 及以上變換但額外乘上點反演(將向量
映去
),即: - 點反演;
- 繞過原點的某軸,作角度不為
的旋轉,後再作一次鏡射,鏡射面過原點,且與旋轉軸垂直; - 關於過原點某平面的鏡射。
後三種元素又稱瑕旋轉。(視乎定義,末一種未必算。)
連同平移變換的簡介,見歐幾里得群。
比較兩件立體的對稱類時,原點可以分別選取,即兩件立體的中心不必相同。更甚者,兩件立體具有相同對稱類,意思是其對稱群
在
中為共軛子群,即存在
,使
。
舉例:
- 兩件立體各僅有鏡射對稱,即使並非關於同一鏡面,仍屬同樣的對稱類;
- 同樣,若各僅有三重旋轉對稱,即使軸向不同,仍屬同樣的對稱類。
若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面,或兩者皆有,則兩個對稱群同屬一類,當且僅當有另一個旋轉
,將前一個對稱群的整個結構,變換成後一個對稱群。(此種旋轉會多於一個,但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時,此種旋轉方會有無窮多個。)按定義,上文的
不必為旋轉,也可以為鏡射,然而,由於對稱群的結構不具手性,祇需取
為旋轉。(但空間群則不然,有
對空間群具有手性,因為有螺旋變換。)
有許多無窮等距變換群,如繞任意軸轉任意無理角度(即圈數或度數為無理數,或弧度數為
的無理數倍)的旋轉,所生成的無窮循環群;若加入繞同一軸的其他旋轉,還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉,則生成非交換群。一般而言,此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉,方能得到有限群,否則一般皆是無窮群。
作為拓撲群
的子群,上述無窮子群皆非閉子群。以下討論
的拓撲閉子群:
無標記特定點的球面,對稱群為
。 - 整個
是球對稱群、 - 相應的旋轉群是
、 - 其他無窮等距變換群有五個,皆含有過原點的某軸,繞該軸的所有旋轉,另外可以:
- 添加或不添加過軸的各鏡面反射,
- 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。(共四個)
- 最後,若以上兩種反射都無添加,則可以只添加兩者的複合,相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的
旋轉。(一個)
添加過軸的各鏡面反射的群,不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射,稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱,則亦必關於過軸的鏡面對稱。
此七個連續群,稱為極限點群或居里極限群,得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。[1][2]軸向群可以分成七列無窮序列,其極限給出五個軸向極限群(有兩個重複),而
、
則不是軸向群的極限。國際記號中,此七個群記為
,次序在下文明確給出。[3]
三維空間的對稱中,保持原點不動,等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群,亦可參見球面有限對稱群列表。
不別共軛之異,三維有限點群只有:
個無窮列,此七類群中,每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群(的有限子群),其中圓柱面有限長或無限長是等價的,有時稱為軸向點群(英語:axial point groups)或棱柱點群(英語:prismatic point groups)。
個其他點群,每個有至少兩條至少三重的旋轉軸;也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸,因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸,所有可能組合有:
條三重軸、
條三重軸及
條四重軸、
條三重軸及
條五重軸。
根據晶體學限制定理,僅得很少點群與離散平移對稱相容:七列軸向點群中,有
個;七個其他點群中,有
個,合共
個,稱為晶體學點群。
有七列軸向點群。每列有無窮多個群,各可用正整數
標示。每列第
個群,含繞某軸的
重旋轉,即旋轉
,故
對應轉一整圈,即不旋轉。七列軸向點群中,四列無其他旋轉軸(稱循環對稱),另三列有其他二重旋轉軸(稱二面對稱)。該些群可以視為二維點群添加軸向坐標和關於軸的反射而成,也與帶群相關。[4] 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複
次。
下表列出點群的幾種記號:晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號、軌形記號、考克斯特記號。後三者不僅方便讀出群的性質,還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群與帶群。晶體群的
僅能取
(晶體學限制定理),而若移除該限制,則
可取任意正整數。七列軸向點群為:
赫-莫 | 熊夫利 | 軌形 | 考克斯特 | 帶群 | 抽象結構 (群階) | 例子 | 備註 |
偶 | 奇 | (圓柱) |
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) | ![{\displaystyle C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0301812adb392070d834ca2df4ed97f1cf132f33) | ![{\displaystyle nn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799fbff5c0aa6585bde445dbd82befc6df9a2e04) | ![{\displaystyle [n]^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fd1512b58cb7224224423f3aecaa36f6fcfe41)
![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | p1 | 循環群![{\displaystyle Z_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5073995dface6fb94824a8bec0075e65205fc64) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Uniaxial_C6.png/120px-Uniaxial_C6.png) | 重旋轉對稱 |
![{\displaystyle {\overline {2n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97231a967b2b87b176c420b752d1bf0cf4850ff3) | ![{\displaystyle {\overline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72212df03d6e5980ff4da76b00eee9f4be15998) | ![{\displaystyle S_{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f064b5153ca32b2c2a001352666655785396c782) | ![{\displaystyle n\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eaaa4a03e47ad43e06886e8a40cefd861645ef) | ![{\displaystyle [2n^{+},2^{+}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e857b2c0445f52f4f65d59fd5a20524a3683f0e)
![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node_h4](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | p11g | ![{\displaystyle Z_{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec38ae3bc9b531cc2765a3bb315cb97a73d26209) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Uniaxial_S6.png/120px-Uniaxial_S6.png) | 重旋轉反射對稱 勿與 次抽象對稱群混淆 |
![{\displaystyle n/\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cbcfec01b116be2d0e258e4208cbc0485acb35) | ![{\displaystyle {\overline {2n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97231a967b2b87b176c420b752d1bf0cf4850ff3) | ![{\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869785d1c6fd2a572e3e71011ce76eb5854e8ee9) | ![{\displaystyle n^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9615e0726d9d6cc58d117a844dca1ca84bb81f7e) | ![{\displaystyle [n^{+},2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a951fabff143f4153fe510eda5a38edcf60f63)
![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) | p11m | ![{\displaystyle Z_{n}\times Z_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de02fecc437d038a8c28b9427525cf56fd34631) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Uniaxial_C6h.png/120px-Uniaxial_C6h.png) | |
![{\displaystyle n\mathrm {mm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7898ad16784d04a20ac8de2ff82bb037621d5d32) | ![{\displaystyle n\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e47175b610f0a2de03a0665733b9deab617ead) | ![{\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e766b0b83dc15a2934d3fbdc0b107d173675c5) | ![{\displaystyle {}^{*}nn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b00fdcf93493c7a8d735344b08a763226df4f4) | ![{\displaystyle [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26847bfc29bbeb4d6ef62ac3fd076378c0fd1db)
![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) | p1m1 | 二面體群![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bef3f5ef0b7d9cb44b7b72b05b17ad9dfd6329) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Uniaxial_C6v.png/120px-Uniaxial_C6v.png) | 稜錐對稱 生物學又稱雙輻射狀對稱 |
![{\displaystyle n22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7298f148368d2ff6673ffbad915ffa7570a008) | ![{\displaystyle n2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc031c01c0d9aae55c4b5a10d32044738e94fb32) | ![{\displaystyle D_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe03857347bf517e7fbda4085b0dafd6018cf18) | ![{\displaystyle 22n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53db3595dcdf79dee987d840f3442887f280638b) | ![{\displaystyle [n,2]^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bb56e56445918a699ec8c41eb05090972b2498)
![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | p211 | ![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bef3f5ef0b7d9cb44b7b72b05b17ad9dfd6329) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Uniaxial_D6.png/120px-Uniaxial_D6.png) | 二面體對稱 |
![{\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0547b710d6be53c5eb6caff3936af34771d3cae9) | ![{\displaystyle {\overline {n}}\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32077d5bcdc140377dd68d6de5fa2f24b921ffa6) | ![{\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9025a9af487ec95352a344279219926f3b9fc279) | ![{\displaystyle 2^{*}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57efe973f02506e458cdbc771fbb10622d5e4fb7) | ![{\displaystyle [2n,2^{+}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5c611a958bc30281d75790ebd79d660a149ded)
![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | p2mg | ![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc53adcb6c6e62555904557cea67075c4035f90f) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Uniaxial_D6d.png/120px-Uniaxial_D6d.png) | 反稜柱對稱 |
![{\displaystyle n/\mathrm {mmm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfad527c9d64d8fa917dc08c810385bc641ea88a) | ![{\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0547b710d6be53c5eb6caff3936af34771d3cae9) | ![{\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9864821fb3fc727fa93646c57c7c9148de19ad2c) | ![{\displaystyle {}^{*}22n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821324e48f31263558b8954d0782d4a8a06f5278) | ![{\displaystyle [n,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a5a13f880965b785908e72d8430a2f17dc34d1)
![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![n](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) | p2mm | ![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2d486b6b3bc54665a5ae17a45fb37414e2359e) ( ) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Uniaxial_D6h.png/120px-Uniaxial_D6h.png) | 稜柱對稱 |
對奇數
,有抽象群同構
及
。
群
(包括平凡群
)及
有手性,其他則無手性。
術語水平(horizontal, h)與豎直(vertical, v)描述反射面的方向,以旋轉軸為豎直,故反射面水平即垂直於與旋轉軸,反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。
最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群
,但是
的不同子群(即不共軛):
(等同
)——點反演對稱
——二重旋轉對稱
(等同
和
)——反射對稱,生物學又稱兩側對稱(英語:bilateral symmetry)。
七條圓柱形帶上,印有不同圖樣,使各自的對稱群等於七列軸向群中,取
的情況。 第一組單軸循環群中,
的階為
(二維情況同樣適用),是由單一個角度為
的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面(的反射),則生成
,階為
。若不加入與軸垂直的鏡面,但加入
塊通過軸的鏡面,則得到
,階亦為
。後者是正
稜錐的對稱群。具
或
的典型物體是螺旋槳。
若上述兩種鏡面皆加入,則水平鏡面與豎直鏡面相交得到
條軸,而鏡射的複合生成繞該些軸的
旋轉,故群不再單軸。新群的階為
,記為
。其旋轉子群為
個元素的二面體群
,仍有與主(
重)旋轉軸垂直的二重旋轉軸,但不再有鏡面。
注意,在二維,
包括鏡射,但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維,鏡射與翻轉不再相同:群
有翻轉但無鏡射。
餘下一類是
(或
),其有包含主旋轉軸的豎直鏡面,但沒有水平鏡面,取而代之的操作是先水平鏡射,再旋轉
。
是正
棱柱和雙稜錐的對稱群。
則是正
角反棱柱的對稱群,亦是正
方偏方面體的對稱群。最後,
是稍稍扭過的正
棱柱的對稱群。
及
較特殊,因為並無特別的主旋轉軸:三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。
是下節所有多面體對稱群的子群,而
則是多面體群
與
的子群。
可以作為下列化學品的對稱群:
的元素,與利普希茨四元數的可逆元表示的旋轉,有一對二的關係。
群
由「先關於水平面作鏡射,再旋轉
」生成。對於奇數
,是等於前述兩個操作分開執行,生成的群
,階為
,故不必用到記號
。然而,對偶數
,兩個群有差異,且
僅有
個元素。與
類似,其包含若干瑕旋轉,但不包含對應的旋轉。
七列軸向群的元素僅有下列四對重複:
及
:階數為
,由獨一個鏡射生成。又稱
。
與
:階數為
,由獨一個
旋轉生成。
與
:階數為
,由一個鏡射與鏡面上一條軸的
旋轉生成。
與
:階數為
,由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的
旋轉生成。
是由獨一個點反演生成的
階群,又記為
。
此處「重複」是指作為
的子群共軛,是強於作為抽象群代數同構的條件。例如,前一種意義下,有三個不同的
階群,但祇有一個
階抽象群。類似,也有
與
抽象同構。
群的構造亦可描述如下:
是由獨一個元素生成,生成元亦稱為
,是繞軸轉
。群的元素是:
(單位元),
,對應旋轉角
。該軸視為豎直軸。
由獨一個元素
生成,其中
是水平面的鏡射。群的元素是
的元素,另加
。
由
與反射
生成。群的元素是
的元素,另加
。
由
與豎直鏡面的反射
生成。群的元素是
的元素,另加
。
是由
與繞水平面上某軸
的旋轉
,其元素是
的元素,另加
。
由元素
與
生成。元素是
的元素,加上
與
的額外元素,再加上
。
由元素
生成。其元素為
的元素,再加上
的所有額外元素。
取
趨向
的極限,則得到連續軸向群(或無窮階軸向群):
赫-莫 | 熊夫利 | 軌形 | 考克斯特 | 是何序列的極限 | 抽象群 |
![{\displaystyle \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21) | ![{\displaystyle C_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bcb7ce8561070441348031d6a017ff0861f3bc) | ![{\displaystyle \infty \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38f227dc1951b06370b82ca7abb78976f709a73) | ![{\displaystyle [\infty ]^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e8a302a0a7cc4f131bd251af0f9c1ee3161dc1) | ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![infin](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/CDel_infin.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | ![{\displaystyle C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0301812adb392070d834ca2df4ed97f1cf132f33) | ![{\displaystyle Z_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96f49332639094907e49980b644144ddefb1d6c) | |
![{\displaystyle {\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc5f9a6d591c62029cd9eea7591bdb90d234533) | ![{\displaystyle C_{\infty \mathrm {h} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74da8bebb914b34282e23136dbe09ff5c07978f) | ![{\displaystyle \infty ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c4126d3fecd79db30b305043439f9d7acd5ae3) | ![{\displaystyle [2,\infty ^{+}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b540e77f9a747921ee0ece4268301bbd0085999c) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![infin](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/CDel_infin.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | ![{\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463d1211885430fa67bc0ce27cae1c410932b513) | ![{\displaystyle Z_{2}\times Z_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19861f7829c319668993d6779102b9aee5faf741) | |
![{\displaystyle \infty \mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83afc44f9333ac45898af367cc80f8d613d48d2d) | ![{\displaystyle C_{\infty \mathrm {v} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68376ce7ecc9f359eeb2256aff1388adb0f6cf0) | ![{\displaystyle {}^{*}\infty \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1577683d7387882cf161d7006c3490f4a7098b52) | ![{\displaystyle [\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfdcbe72d62c10ca3f44aa9a024a24e3cb4370d8) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![infin](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/CDel_infin.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) | ![{\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e766b0b83dc15a2934d3fbdc0b107d173675c5) | ![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7e104b266cc8d7aa8187ae4cbf1c8bc7597491) | |
![{\displaystyle \infty 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f49bd8a3913c9c5bdbb935c3987ccf22046a6f) | ![{\displaystyle D_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfdc22db9333625b0bd3f64f0aecf214026c6db) | ![{\displaystyle 22\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f61222e51a6c6a338058c6fa37a71cce75ee1f2) | ![{\displaystyle [2,\infty ]^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fc13ec6efae194a63b90149dd4a7d523dcbf9e) | ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![2x](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![infin](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/CDel_infin.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) | ![{\displaystyle D_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe03857347bf517e7fbda4085b0dafd6018cf18) | ![{\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7e104b266cc8d7aa8187ae4cbf1c8bc7597491) | |
![{\displaystyle {\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dea0a1dfd5f4a02b913a1016903fc4a330a0e13) | ![{\displaystyle D_{\infty \mathrm {h} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c495ab68bafec48a6dc4ef56f14b4f844276214d) | ![{\displaystyle {}^{*}22\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00f8367b8638598ae7cd2e263d8f897d755c33b) | ![{\displaystyle [2,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d887ffa5ee329934aae77a59e76ae9d2d8441156) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![infin](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/CDel_infin.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) | ![{\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189c51612d381a1b2a8cf153a49ac846f9721cd5) | ![{\displaystyle Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594947f691baa639c33d4de6677ce70c3a5e09b8) | |
餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱,因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中,
表示一條
重軸,即旋轉角為
,
則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號,首先是字母表示的熊夫利記號,然後括號內為軌形記號,然後為考克斯特記號及圖,最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。
![{\displaystyle T,\ (332)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c5fad62543f78bb458702c0493c9b4e8479444)
(![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle 23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e140641068b3a0763290941fb20531be45227748) 階為![{\displaystyle 12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39) | 手性四面體對稱 | 有四條 軸,是立方體的四條體對角線,也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條 軸,是立方體三組對面的中心連線,也是正四面體三組對邊的中點連線。 同構交錯群 ,即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群,也是 及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的 個元素,與赫維茲四元數的 個可逆元,有一對二的關係,而後者又稱為二元四面體群。 |
![{\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458f3c04cb225596b5215835d10b96ffd4b7bfc7)
(![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle {\overline {4}}3\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b4b32b7863795ab61d73a6fd791573d1bc581) 階為![{\displaystyle 24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be92101c8b0277e66fdefeef1ccdd7788e88ef5) | 全四面體對稱 | 本群與 有相同的旋轉軸,但另有六塊鏡面,每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊,也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條 軸,兩條 軸。原 軸,加入鏡射後,變成 軸。本群是正四面體的對稱群。 同構於 個元素的對稱群 ,因為 的元素,會將 條 軸重新排列,而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸,有 對稱,則在 作用下,軌道有四件同樣的物體, 就對應此四件物體的排列的集合。 是 的正規子群。 |
![{\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e083a8530b88c65ad481072e64230f7df4d0353)
(![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![4](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png) )
![{\displaystyle 2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9687c9d243b11998272594982094f9225b8e07d5) 階為![{\displaystyle 24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be92101c8b0277e66fdefeef1ccdd7788e88ef5) | 五角十二面體對稱 | 排球的縫線有 。(立方五角十二面體)本群與 的旋轉軸相同,另有與立方體的面平行的鏡面。四條 軸變成 軸,並有關於中心的反演對稱。 同構於 (因為 與 皆是正規子群),而與對稱群 不同構。若在立方體的每個面上,各畫一條線段,將該面分成兩個全等的長方形,且使得新增的線段不會相交於稜上,則所得的圖形的對稱群為 。該些對稱是:立面體四條體對角線的偶排列,及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的(面經分割的)立方體類似,但其中每個長方形換成有四邊等長,具一條對稱軸的五角形,而五角形餘下一條不同長度的邊,對應立方體的面上新增的線段。換言之,可以想像立方體的面在分割線隆起,並在該處變窄(即分割線變短)。本群為全二十面體對稱群的子群(但不正規),且是作為等距變換群的子群,而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸,而本群有其中四條。本群亦為 的正規子群。雖然記作 ,本群並非任何四面體(英語:Tetrahedron)的對稱群。 |
![{\displaystyle O,\ (432)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88527b4234d1fe9270384d454e68d613213f028a)
(![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![4](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle 432}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebb94baea996bf28d67ef78eec9c06879a4ca78) 階為![{\displaystyle 24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be92101c8b0277e66fdefeef1ccdd7788e88ef5) | 手性八面體對稱 | 本群與 類似,但各 軸現改成 軸,並有額外六條 軸,是過正方體中心與(六對)稜中點的直線。本群與 同構,因為其元素與四條三重軸的 個排列一一對應,與 類似。若物體繞某條三重軸有 對稱,則在 作用下,軌道有四件同樣的物體,而 的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉,則 對應 個赫維茲四元數的可逆元及範數平方為 的 個利普希茨四元數,各除以 。與 類似,此為一對二的關係。 |
![{\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6aee9e26de24ef53d644db841368a11be3e520)
(![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![4](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle 4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf70b794fe557ce36c8f2fb5629ea346a30df3d) 階為![{\displaystyle 48}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b7cc2503ceb16423c3be974d170791dfffe160) | 全八面體對稱 | 本群與 有同樣的旋轉軸,但也有鏡射,有齊 與 的所有鏡面。本群同構於 (因為 與 皆為正規子群),且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱。 |
![{\displaystyle I,(532)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5968aa1ac1ca31e6b6cf63c4f679ebcd59daf8a)
(![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![5](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png) ![node_h2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle 532}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b82557e0a01590ba1e99ee8f07347b29599b07d) 階為![{\displaystyle 60}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cef1e5bbfe2c0fea5bd36788b3970ff98b9617c) | 手性二十面體對稱 | 本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群,亦是全正二十面體對稱群 的指標 正規子群。本群的子群中,有十個 與六個 (即稜柱或反稜柱的旋轉群)。本群也包含五個 子群(見五複合正四面體)。抽象而言, 同構於 次交錯群 ,因為其元素作用在五個 子群上,與其偶排列一一對應。等價地,可以考慮 對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉,則 對應 個二十數可逆元。與先前一樣,此為一對二的關係。 |
![{\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db0b4d290900df3a4a32959d2a355847a5c9c2b)
(![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![5](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) )
![{\displaystyle {\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642e9855eea9101da1c3bcd1dc0026cfba942f92) 階為![{\displaystyle 120}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9add16c744b3618167bba1d1277550b3c29afba) | 全二十面體對稱 | 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。 與抽象群 同構,因為 與 皆是正規子群。本群的子群中,有十個 、六個 (反稜柱的對稱)、五個 。 |
相關的連續群有:
- 旋轉群
,即所有旋轉的群,亦記作
或
。 - 正交群
,所有旋轉和鏡射生成的群,亦記作
或
。
如無窮等距變換群一節所言,任何物理實體,若有
對稱性,則必有
對稱性。
若已知群的軌形記號,則可計算其階數,等於
除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將
減去軌形記號中,各符號特徵數的總和:
- 無
或在
之前的
,值為
; - 在
之後的
,值為
;
與
計為
。
此公式同樣適用於壁紙群與帶群:對該等群,特徵數之和為
,所以階數是無窮大。亦見壁紙群條目。
三維考克斯特群的基本域 ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![4](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![5](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/120px-Tetrahedral_reflection_domains.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/120px-Octahedral_reflection_domains.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/120px-Icosahedral_reflection_domains.png)
塊鏡 |
![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Spherical_digonal_bipyramid2.svg/120px-Spherical_digonal_bipyramid2.svg.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Spherical_square_bipyramid2.svg/120px-Spherical_square_bipyramid2.svg.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Spherical_hexagonal_bipyramid2.png/120px-Spherical_hexagonal_bipyramid2.png)
塊鏡 |
| ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![2](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png) | ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Spherical_digonal_hosohedron2.png/120px-Spherical_digonal_hosohedron2.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Spherical_square_hosohedron2.png/120px-Spherical_square_hosohedron2.png)
塊鏡 | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Spherical_hexagonal_hosohedron2.png/120px-Spherical_hexagonal_hosohedron2.png)
塊鏡 |
三維反射點群又稱為考克斯特群,能以