在数学中,循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质,能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格[1]:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。
设有
- 概率空间
; - 测度空间
,状态空间; - σ-代数
上的参考族
; - 随机过程
(指标集
也可以是有限时间
或离散时间
)。
则随机过程
是循序可测过程当且仅当对任意的时刻
,映射
![{\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f5e3e25e2c70f84b162a0f2b0b1e100b55797d)
都是
-可测的[2]:110。
是循序可测过程可以推出它必然是适应过程[1]:5。
子集
是循序可测集合当且仅当指示过程:
![{\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b3c5cefe947d7895356ba1e8a4994c8bcfbbb)
是循序可测过程。所有循序可测的子集
构成
上的一个σ-代数,一般记为
。一个随机过程
是循序可测过程当且仅当它(在被看作
上的随机变量时)是
-可测的[3]:190。
- 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的,那么它是循序可测过程。特别地,左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程[3]:191。
- 设
是一维的标准布朗运动过程,
为关于
的参考族
的(实值的)循序可测过程,并且满足
,那么我们可以定义
关于
的随机积分:
[2]:146-147,而且满足
[3]:192[2]:141。
- 一个随机过程
的修正(modification)是指另一个随机过程
,满足
可以证明,尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的,但必然拥有一个循序可测的修正[2]:110。