在数学中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基,是用于计算微分方程的解空间的函数。
对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数,f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为:
![{\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d888ba61b4389099c4886ea586b8f02c8b170f)
行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函数的 i-1 次导数。组成这个行列式的 n 阶方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵。
在解线性微分方程时,朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。
朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。
对于 n 个n-1 次连续可微函数 f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :
![{\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d888ba61b4389099c4886ea586b8f02c8b170f)
定理:
- 如果 f1、...、fn 在一個區間 [a, b] 上線性相關,則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零。
也就是说,如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零,则 f1、...、fn 线性无关
注意,若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零,函数组不一定线性相关。
考虑 n 阶线性微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad \qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff876fbb3127b7946c0293f1a8f8a8f0bb834c70)
其中
是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑
,即 n 阶齐次线性微分方程的情形:
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad \qquad \qquad \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62982bb3cae0268a41dea1e7f7503e3d0d2ee08b)
对于一组给定的初始值:
![{\displaystyle x(0)=x_{0},\ {\frac {dx}{dt}}(0)=x_{1},\ \cdots ,\ {\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77420e30820d73abe945a607b2b4d4334634d351)
方程 (1) 有唯一解
。如果初始值不定的话,(2) 的任一解加上
仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ,任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集构成一个线性空间,称为 (2) 的解空间。
如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关,则存在不全为零的系数
使得对区间 [a,b] 上的任意 t,
![{\displaystyle c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31b1620717b7f57129a0adf2bd432a0ebf32f5a)
因为“微分”是线性算子,所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组:
![{\displaystyle {\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdots c_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots \\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots c_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de2ff453b45d8e64aaa5b121b8a973ba30ddd2a)
将
看作变量,则上式变为一个 n 元齐次线性方程组,由于这个方程有非零解,系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。
进一步可以证明, W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零,要么处处不为零(没有零根)。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解,并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以, (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组。
1. 考虑三个函数:1、x和x2,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:
![{\displaystyle W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c946ba89eb56e17348b2f900cf8ef955d05a99c3)
不等于零,因此,这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。
2.考虑另三个函数:1、x2和2x2+3,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:
![{\displaystyle W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244ea30788fffd48c94f59f3e80c0c1bbd41265)
事实上三者线性相关。
3.上面已经提到,朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例:考虑两个函数,x3和|x3|,即x3的绝对值。计算两者的朗斯基行列式
![{\displaystyle W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9ac60e5f04c41524bb4c32e1db5f85e791134c)
他们的朗斯基行列式恒等于零,但两者显然线性无关。