线性代数 |
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea) |
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵 |
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克萊姆法則或克拉瑪公式(英語:Cramer's rule / formula)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這一定理在理論性方面十分有效。
一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示:
其中的
是一个
的方塊矩陣,而向量
是一个长度为n的行向量(中國大陸為列向量)。
也一样。
克莱姆法则说明:如果
是一个可逆矩陣(
),那么方程(1)有解
,其中
(1)
当中
是列向量
的第i行(行向量与列向量不一样,解释默认列向量)
當中
是列向量
取代了
的第i列后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用
來表示
,用
來表示
。所以等式(1)可以寫成為:
。
設
為一個環,
就是一個包含
的系數的
矩陣。所以:
![{\displaystyle \mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b15cdb885301a45a865a9e1acff34031481841)
當中
就是
的行列式,以及
就是單位矩陣。
对于
元线性方程组
把系数矩阵
表示成行向量的形式
由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解
.
设
,即
考虑
的值,利用行列式的線性和交替性質,有
于是
运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。
已知:
![{\displaystyle ax+by={\color {red}e}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1785b46f109b594bf6c0c7994075492b34d040c6)
![{\displaystyle cx+dy={\color {red}f}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34663de309b8f756016155bc8d8d6182abf6f9b)
使用矩陣來表示時就是:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8426e7651c3d03938e8ca4693786d546bb2087c6)
当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:
![{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f07e999e5580924ee6f1b68e88f2a8da98bcda)
- 以及
![{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526a37875a797bf33aec50a7893f04b32cb893c2)
用3×3矩陣的情況亦差不多。
已知:
![{\displaystyle ax+by+cz={\color {red}j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95da1db9a1506d1a01c8db3e201bd44cca5637a2)
![{\displaystyle dx+ey+fz={\color {red}k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f55339e46b223c1ab695c233d1d9d0cae0366e5)
![{\displaystyle gx+hy+iz={\color {red}l}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c8d1ac04dcedfc4cd24f6989b2e69780b5b258)
當中的矩陣表示為:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9946f0492e9eb0c2a7a84983e267d6b51fb2099e)
当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:
、
以及 ![{\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce39b2e5c430fb0a32d7685d3a9079c24d4ac195)
克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。
先考慮兩條等式
和
。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義
和
。
找出一條等式適合
是克萊姆法則的簡單應用。
首先,我們要計算
、
、
和
的導數:
![{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e06ed09a6e21af8271ed7feee03881d2a1e7f3)
![{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd8e1b611e6ebe5a6163e2a35dc105cee9b61aa)
![{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a81dd7f07351b26f523c8403078143fe6e1f60b)
![{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716a5350c66e8704180284d1775656738c52fbe7)
將
和
代入
和
,可得出:
![{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc5c9c2eab4b49bf9067123796dd79311f96fc3)
![{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c9931c724fb95ca2c30e753800dba7cda85154)
因為
和
互不相关,所以
和
的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6178d8b188a777327a478161d76ed6f7c2a364c)
![{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3e256e9cb1063e7e321947548016f95d9d332d)
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f906aa9d48280241628eba00e90dc324f1741b63)
![{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386450c3dccbab28c4361d76766d820de8eb6c01)
現在用克萊姆法則就可得到:
![{\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c53f43640fbb0be9433c152c605819aef994a10)
用兩個雅可比矩陣來表示的方程:
![{\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df30960928eb9cd6771874258233e9710ee8da1)
用類似的方法就可以找到
、
以及
。
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。
克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。
克莱姆法则在电子计算机出现后,被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个
阶线性方程组时,所需乘法次数为
次。例如求解25阶线性方程组时,总计乘法次数需要
(即4.03×1026)次,若计算机每秒能计算100亿次,所需时间约12.79亿年。相比之下,高斯消元法只需3060次乘法,对计算机而言易如反掌。[1]