线性代数 |
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea) |
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方塊矩陣,也称方阵、方矩陣或正方矩陣[1],是行數及列數皆相同的矩陣。由
矩陣組成的集合,連同矩陣加法和矩陣乘法,构成環。除了
,此環並不是交换環。
M(n, R),即實方塊矩陣環,是個實有单位的結合代數。M(n, C),即複方塊矩陣環,則是複結合代數。
單位矩陣
的對角線全是1而其他位置全是0,對所有
矩陣
及
矩陣
都有
及
。 例如,若
:
![{\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9fa091304cdb4b481f31ea3901e771ca39491b)
單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。
方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。
矩陣
是可逆當且僅當存在矩陣
使得
。
此時
稱為
的逆矩陣,並記作
。 所有
矩陣在乘法上組成一個群(亦是一個李群),稱為一般線性群。
若數字
和非零向量
满足
,則
為
的一個特征向量,
是其對應的特征值。數字
為
的特征值當且僅當
可逆,又當且僅當
。這裏,
是
的特征多項式。特征多項式是一個
次多項式,有
个复根(考虑重根),即
有
個特征值。
方塊矩陣
的行列式是其
個特征值的積,但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。
高斯-若爾當消元法非常重要,可以用来計算矩阵的行列式,秩,逆矩陣,并解決線性方程組。
矩陣的迹是
矩陣的对角线元素之和,也是其
個特征值之和。
所有正交矩阵都是方块矩阵。
线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):
- A 可逆 ; A的反矩陣存在。
- det(A) ≠ 0 。
- rank(A) = n 。
- Null(A) = 0 。
- A的特征值中没有0。
- 对任意b属于Fn,Ax = b有唯一解。
- Ax = 0只有平凡解。
- ATA可逆。
- A与单位矩阵行(列)等价。
- A的行向量或列向量張成Fn 。
- A的零空间只有零向量。
- A的值域為Fn 。
- A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。
这裡,F为矩阵元素所属的域。通常,这个域为实数域或复数域。